O módulo de um número [x \in \mathbb{R}) é definido como
|x|= \begin{cases}x, & \text { se } x \geq 0 \\\\ -x, & \text { se } x<0\end{cases}
Dessa forma, o módulo de um número positivo é ele mesmo; enquanto que o módulo de um número negativo é seu oposto. A distância entre dois números x, y \in \mathbb{R}\] é definida como \(d(x, y)=|x-y|.
|x| \geq 6

Passo 1

O enunciado fornece a definição do módulo (valor absoluto) de um real e a definição de distância, e em seguida apresenta a desigualdade
|x| \geq 6.
O que se pede implicitamente: encontrar todos os números reais x\) que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes dadas: - A definição do módulo: \(|x|=\begin{cases}x,&\text{se }x\ge0,\\\ -x,&\text{se }x<0.\end{cases}
  • A desigualdade a resolver é |x|\ge6.

Passo 2

Estratégia básica (casos): como a definição de |x| muda conforme o sinal de x, vamos dividir em dois casos (essa é a maneira mais direta e segura para desigualdades com módulo).
Caso A: x\ge 0.
Pela definição, |x|=x. A desigualdade torna-se
x \ge 6.
Isto já é uma desigualdade simples: todos os x maiores ou iguais a 6 satisfazem o caso A.

Passo 3

Continuação do caso B.
Caso B: x<0.
Pela definição, |x|=-x. A desigualdade torna-se
-x \ge 6.
Agora resolvemos essa desigualdade multiplicando ambos os lados por -1. Lembrete importante: ao multiplicar por -1 a desigualdade inverte o sentido. Assim
x \le -6.
Portanto, no caso x<0 a condição é x\le -6. Note que isso é compatível com x<0 (pois -6<0).

Passo 4

Interpretação dos dois casos: juntando os resultados das duas situações (positiva e negativa) temos que qualquer solução precisa satisfazer ou x\ge 6 (do caso A) ou x\le -6 (do caso B). Não há outras possibilidades porque a definição de |x| foi totalmente coberta pelos dois casos x\ge0 e x<0.

Passo 5

Verificações rápidas para ganhar confiança:
  • Teste x=6: |6|=6\ge6 — verdadeiro, portanto 6 deve estar na solução.
  • Teste x=-6: |-6|=6\ge6 — verdadeiro, portanto -6 também está na solução.
  • Teste x=0: |0|=0\ge6 — falso, logo 0 não pertence à solução.
  • Teste x=10: |10|=10\ge6 — verdadeiro (está no ramo x\ge6).
  • Teste x=-10: |-10|=10\ge6 — verdadeiro (está no ramo x\le-6).

Passo 6

Observação geral (regra útil para a prova): para qualquer constante a\ge0,
|x|\ge a \quad\Longleftrightarrow\quad x\le -a \\ \text{ou}\\ x\ge a,
enquanto
|x|\le a \quad\Longleftrightarrow\quad -a \le x \le a.
Essas fórmulas surgem do mesmo procedimento por casos que aplicamos acima.

Resposta

x\in(-\infty,-6]\cup[6,\infty)

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