O módulo de um número [x \in \mathbb{R}) é definido como
|x|= \begin{cases}x, & \text { se } x \geq 0 \\\\ -x, & \text { se } x<0\end{cases}
Dessa forma, o módulo de um número positivo é ele mesmo; enquanto que o módulo de um número negativo é seu oposto. A distância entre dois números x, y \in \mathbb{R}\] é definida como \(d(x, y)=|x-y|.
|x|<11
Passo 1
O enunciado dá a definição do módulo (valor absoluto) de um número real e pede para resolver a desigualdade |x|<11\). Informações relevantes que temos:
- A definição do módulo: \(|x|=\begin{cases}x,&\text{se }x\ge 0,\\\ -x,&\text{se }x<0.\end{cases}
A desigualdade a ser resolvida é |x|<11.
Domínio: x\in\mathbb{R}.
Passo 2
Vamos usar a definição por casos do módulo e analisar as duas possibilidades separadamente (essa é a maneira padrão e segura quando se lida com |\cdot|).
Primeiro caso: suponha \,x\ge 0.
Pela definição, |x|=x. Então a desigualdade |x|<11 vira
x<11.
Juntando com a hipótese x\ge 0, obtemos os x desse caso:
0\le x<11.
Passo 3
Segundo caso: suponha \,x<0.
Pela definição, |x|=-x. Então a desigualdade |x|<11 vira
-x<11.
Agora multiplicamos ambos os lados por -1. Lembre-se: ao multiplicar uma desigualdade por número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Assim:
x>-11.
Juntando com a hipótese x<0, os x desse caso satisfazem
-11<x<0.
Passo 4
Agora unimos as soluções dos dois casos (porque qualquer x real está ou em x\ge 0 ou em x<0). Das duas regiões obtidas:
-11<x<0\quad\text{e}\quad 0\le x<11,
a união é simplesmente
-11<x<11.
Isso faz sentido na reta numérica: |x|<11 significa que a distância de x até 0 é menor que 11, ou seja, x está dentro do intervalo aberto centrado em 0 de raio 11.
Passo 5
Regra geral (útil para a prova): para qualquer a>0,
|x|<a\iff -a<x<a,
e de modo similar
|x|\le a\iff -a\le x\le a,
|x|>a\iff x<-a\\ \text{ou}\\ x>a.
Essa é uma consequência direta da definição por casos e é rápida de aplicar quando cairem desigualdades com valor absoluto.
Passo 6
Dica prática e incentivo: na prova, ao ver |x|< número positivo pense imediatamente em abrir em - número <x< número. Se aparecer |x|> número, lembre que a solução é fora do intervalo central (duas partes). Vai dar certo — respira fundo e aplica a regra.