Prove que a distribuição Geométrica é um caso particular da distribuição de Pascal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a distribuição Geométrica é um caso especial da distribuição de Pascal. A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente com distribuições de probabilidade discretas. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições e propriedades básicas dessas duas distribuições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição Geométrica. Ela descreve o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli (cada tentativa tem sucesso com probabilidade $ p $ e fracasso com $ 1 - p $). A função de probabilidade é:
p
onde $ k = 1, 2, 3, \dots $

Passo 3

Agora, vamos olhar para a distribuição de Pascal, também conhecida como distribuição binomial negativa. Ela generaliza a Geométrica contando o número de tentativas até atingir $ r $ sucessos. A função de probabilidade é:
r
onde $ k = r, r+1, r+2, \dots $ e $ r $ é o número de sucessos desejados.

Passo 4

Para provar que a distribuição Geométrica é um caso da distribuição de Pascal, vamos observar o que acontece quando $ r = 1 $ na fórmula da distribuição de Pascal. Substituindo $ r = 1 $ na equação, temos:
r = 1

Passo 5

Simplificando a expressão, lembrando que $ \binom{k-1}{0} = 1 $ para qualquer $ k \geq 1 $, ficamos com:
binomk-10 = 1
k >= 1

Passo 6

E olha só, essa é exatamente a função de probabilidade da distribuição Geométrica que a gente viu no Passo 2:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 p

Resposta

Portanto, quando $ r = 1 $ na distribuição de Pascal, ela se reduz exatamente à distribuição Geométrica. Isso prova que a distribuição Geométrica é um caso particular da distribuição de Pascal.

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