Uma moeda não viciada é lançada. Se sair cara, um número é escolhido aleatoriamente dentre os números inteiros de 1 a 5 . Se sair coroa, um número é escolhido aleatoriamente dentre os números inteiros 6 a 9 .
Dado que um número ímpar foi escolhido, qual a probabilidade de ter saído cara na moeda?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lançar uma moeda justa. Se sair cara, a gente escolhe um número de 1 a 5. Se sair coroa, escolhe de 6 a 9. A pergunta é: sabendo que o número escolhido foi ímpar, qual a chance de ter saído cara na moeda? Vamos usar probabilidade condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possibilidades. A moeda pode dar cara ou coroa, cada uma com probabilidade de 1/2. Se der cara, escolhemos um número entre 1 e 5. Se der coroa, escolhemos entre 6 e 9.

Passo 3

Agora, vamos ver quais números são ímpares em cada intervalo:
  • De 1 a 5: 1, 3, 5 (3 números ímpares)
  • De 6 a 9: 7, 9 (2 números ímpares)

Passo 4

A probabilidade de escolher um número ímpar dado que saiu cara é a quantidade de ímpares de 1 a 5 dividida pelo total de números de 1 a 5. Então:
P(Ímpar | Cara) = 35 Í

Passo 5

Já a probabilidade de escolher um número ímpar dado que saiu coroa é a quantidade de ímpares de 6 a 9 dividida pelo total de números de 6 a 9. Então:
P(Ímpar | Coroa) = 24 = 12 Í

Passo 6

Agora, vamos aplicar a fórmula de probabilidade condicional:
P(Cara | Ímpar) = P(Ímpar | Cara) cdot P(Cara)P(Ímpar) ÍÍÍ

Passo 7

Precisamos calcular $ P(Ímpar) $, que é a probabilidade total de sair um número ímpar. Usamos a regra da probabilidade total:
P(Ímpar) ÍÍÍ
Substituindo os valores:
P(Ímpar) = P(Ímpar | Cara) cdot P(Cara) + P(Ímpar | Coroa) cdot P(Coroa) Í

Passo 8

Agora podemos voltar à fórmula principal:
P(Cara | Ímpar) = 35 cdot 121120 = 3101120 = 310 times 2011 = 60110 = 611 Í

Resposta

A probabilidade de ter saído cara na moeda, dado que um número ímpar foi escolhido, é 611.

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