Uma moeda não viciada é lançada 3 vezes. Seja X o número de caras obtidas.
- Determine a função de probabilidade de X.
- Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado diz: uma moeda não viciada é lançada 3 vezes. Seja
o número de caras obtidas. Perguntas que o problema faz:
- Determinar a função de probabilidade de
(ou seja, para os valores possíveis de ). - Calcular
e .
Informações relevantes fornecidas:
- A moeda é não viciada, ou seja, a probabilidade de cara em cada lançamento é
. - Há
lançamentos independentes. - A variável
conta o número de caras nos 3 lançamentos; logo os possíveis valores de são .
Passo 2
Entendimento das possibilidades e contagem de eventos (como obter exatamente
caras).
Quando fazemos lançamentos, um resultado específico (por exemplo, Cara-Coroa-Cara) tem probabilidade
porque os lançamentos são independentes e cada face tem probabilidade
.
Para obter exatamente caras em
lançamentos, precisamos contar em quantas sequências de 3 lançamentos aparecem exatamente
posições com cara. O número de sequências com exatamente
caras é dado pelo coeficiente binomial
Quando fazemos
Para obter exatamente
que conta as maneiras de escolher quais
das 3 posições serão caras. Aqui
e, por definição,
.
Passo 3
Construindo a função de probabilidade: cada sequência tem probabilidade
, e há
sequências com exatamente
caras. Portanto, para
,
Agora calculamos cada valor explicitamente usando
,
,
,
.
Passo 4
Cálculo numérico dos valores da função de probabilidade:
Checagem rápida: a soma das probabilidades deve ser
. Soma:
logo está consistente.
Passo 5
Cálculo da esperança
pela definição (soma ponderada).
A definição de esperança para variável discreta é
A definição de esperança para variável discreta é
Aplicando aos valores
:
Substituindo os
calculados:
Agora fazemos as contas passo a passo:
Em forma decimal com vírgula:
.
Passo 6
Observação/atalho (fórmula conhecida): para esse tipo de problema com
lançamentos independentes e probabilidade
de sucesso (cara) em cada lançamento, a esperança é
Aqui
e
, então
, confirmado com o cálculo direto.
Passo 7
Cálculo da variância
. Duas formas: usar definição via
ou usar fórmula direta. Primeiro a ideia:
. Vamos calcular
pela soma:
Substituindo os valores:
Calculando termo a termo:
Logo
.
Passo 8
Agora aplicamos
. Substituindo
e
:
Em decimal com vírgula:
.
Passo 9
Confirmação pela fórmula conhecida: para a configuração com
lançamentos independentes e probabilidade
de sucesso, a variância é
Com
e
,
o mesmo resultado obtido acima. Bom sinal!