Uma moeda não viciada é lançada 3 vezes. Seja X o número de caras obtidas.
  1. Determine a função de probabilidade de X.
  2. Calcule E[X] e \operatorname{Var}(X).

Passo 1

O enunciado diz: uma moeda não viciada é lançada 3 vezes. Seja X o número de caras obtidas. Perguntas que o problema faz:
  1. Determinar a função de probabilidade de X (ou seja, P(X=k) para os valores possíveis de k).
  2. Calcular E[X] e \operatorname{Var}(X).
Informações relevantes fornecidas:
  • A moeda é não viciada, ou seja, a probabilidade de cara em cada lançamento é 1/2.
  • 3 lançamentos independentes.
  • A variável X conta o número de caras nos 3 lançamentos; logo os possíveis valores de X são k=0,1,2,3.

Passo 2

Entendimento das possibilidades e contagem de eventos (como obter exatamente k caras).
Quando fazemos 3 lançamentos, um resultado específico (por exemplo, Cara-Coroa-Cara) tem probabilidade (1/2)^3 porque os lançamentos são independentes e cada face tem probabilidade 1/2.
Para obter exatamente k caras em 3 lançamentos, precisamos contar em quantas sequências de 3 lançamentos aparecem exatamente k posições com cara. O número de sequências com exatamente k caras é dado pelo coeficiente binomial
\binom{3}{k}=\frac{3!}{k!(3-k)!},
que conta as maneiras de escolher quais k das 3 posições serão caras. Aqui n!=n\cdot(n-1)\cdots1 e, por definição, 0!=1.

Passo 3

Construindo a função de probabilidade: cada sequência tem probabilidade (1/2)^3, e há \binom{3}{k} sequências com exatamente k caras. Portanto, para k=0,1,2,3,
P(X=k)=\binom{3}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\binom{3}{k}\frac{1}{8}.
Agora calculamos cada valor explicitamente usando \binom{3}{0}=1, \binom{3}{1}=3, \binom{3}{2}=3, \binom{3}{3}=1.

Passo 4

Cálculo numérico dos valores da função de probabilidade:
P(X=0)=\binom{3}{0}\frac{1}{8}=\frac{1}{8},
P(X=1)=\binom{3}{1}\frac{1}{8}=\frac{3}{8},
P(X=2)=\binom{3}{2}\frac{1}{8}=\frac{3}{8},
P(X=3)=\binom{3}{3}\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.
Checagem rápida: a soma das probabilidades deve ser 1. Soma:
\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{8}{8}=1,
logo está consistente.

Passo 5

Cálculo da esperança E[X] pela definição (soma ponderada).
A definição de esperança para variável discreta é
E[X]=\sum_{k} k\,P(X=k).
Aplicando aos valores k=0,1,2,3:
E[X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3).
Substituindo os P(X=k) calculados:
E[X]=0\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{3}{8}+2\cdot\frac{3}{8}+3\cdot\frac{1}{8}.
Agora fazemos as contas passo a passo:
E[X]=0+\frac{3}{8}+\frac{6}{8}+\frac{3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.
Em forma decimal com vírgula: E[X]=\frac{3}{2}=1,5.

Passo 6

Observação/atalho (fórmula conhecida): para esse tipo de problema com n lançamentos independentes e probabilidade p de sucesso (cara) em cada lançamento, a esperança é
E[X]=n p.
Aqui n=3 e p=\tfrac{1}{2}, então E[X]=3\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}, confirmado com o cálculo direto.

Passo 7

Cálculo da variância \operatorname{Var}(X). Duas formas: usar definição via E[X^2] ou usar fórmula direta. Primeiro a ideia: \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2. Vamos calcular E[X^2] pela soma:
E[X^2]=\sum_{k} k^2 P(X=k).
Substituindo os valores:
E[X^2]=0^2\cdot\frac{1}{8}+1^2\cdot\frac{3}{8}+2^2\cdot\frac{3}{8}+3^2\cdot\frac{1}{8}.
Calculando termo a termo:
E[X^2]=0+\frac{3}{8}+\frac{12}{8}+\frac{9}{8}=\frac{24}{8}=\frac{3}{1}=3.
Logo E[X^2]=3.

Passo 8

Agora aplicamos \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2. Substituindo E[X^2]=3 e E[X]=\tfrac{3}{2}:
\operatorname{Var}(X)=3-\left(\frac{3}{2}\right)^2=3-\frac{9}{4}=\frac{12}{4}-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}.
Em decimal com vírgula: \operatorname{Var}(X)=\frac{3}{4}=0,75.

Passo 9

Confirmação pela fórmula conhecida: para a configuração com n lançamentos independentes e probabilidade p de sucesso, a variância é
\operatorname{Var}(X)=n p(1-p).
Com n=3 e p=\tfrac{1}{2},
\operatorname{Var}(X)=3\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\left(1-\tfrac{1}{2}\right)=3\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\frac{3}{4},
o mesmo resultado obtido acima. Bom sinal!

Resposta

P(X=k)=\displaystyle \binom{3}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\begin{cases}\tfrac{1}{8}, & k=0,\\[4pt]\tfrac{3}{8}, & k=1,\\[4pt]\tfrac{3}{8}, & k=2,\\[4pt]\tfrac{1}{8}, & k=3,\end{cases}
E[X]=\dfrac{3}{2}=1,5, \operatorname{Var}(X)=\dfrac{3}{4}=0,75]

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