O tempo de vida de um certo tipo de componente eletrônico segue uma distribuição uniforme entre 1000 e 1500 horas. Qual a probabilidade de um componente escolhido ao acaso durar mais de 1400 horas?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida de um componente é uniforme entre 1000 e 1500 horas e pede a probabilidade de um componente escolhido ao acaso durar mais de 1400 horas.\n\nInformações dadas:
  • O suporte da distribuição é o intervalo [1000,1500].
  • Queremos calcular P(X>1400), onde X é o tempo de vida do componente.

Passo 2

Vamos lembrar como funciona a distribuição uniforme contínua no intervalo [a,b].\n\nDefinição prática: se X é uniformemente distribuída em [a,b], então a densidade de probabilidade é constante nesse intervalo e vale
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a\le x\le b,
e f(x)=0 fora de [a,b].\n\nPor que essa fórmula? A densidade é constante porque todos os pontos do intervalo são igualmente prováveis. A área total sob a densidade deve ser 1. Como a altura é constante f(x)=h e a base tem comprimento b-a, temos h\cdot (b-a)=1, daí h=1/(b-a).\n\nNo nosso caso temos a=1000 e b=1500. Portanto
f(x)=\frac{1}{1500-1000}=\frac{1}{500}\quad\text{para }1000\le x\le1500.

Passo 3

Agora calculamos P(X>1400) usando a densidade: é a área da curva de f no intervalo de 1400 até 1500. Ou seja,
P(X>1400)=\int_{1400}^{1500} f(x)\,dx=\int_{1400}^{1500}\frac{1}{500}\,dx.
Como a integranda é constante, a integral é simplesmente a constante multiplicada pelo comprimento do intervalo:
P(X>1400)=\frac{1}{500}\cdot(1500-1400)=\frac{100}{500}=\frac{1}{5}.

Passo 4

Interpretação mais direta (sem integral): na uniforme, probabilidades de intervalos são proporção dos comprimentos. O comprimento favorável é 1500-1400=100 e o comprimento total é 1500-1000=500, logo a probabilidade é 100/500=1/5.\n\nConvertendo para decimal e porcentagem:
\frac{1}{5}=0,2=20\%.\n\nDica de prova: para questões com uniforme contínua, pense sempre em “comprimento favorável dividido pelo comprimento total” — é rápido e seguro.

Passo 5

Exemplo extra rápido para fixar: P(1200\le X\le1350)=\dfrac{1350-1200}{500}=\dfrac{150}{500}=0,3. Isso mostra a mesma ideia aplicada em outro intervalo.\n\nVocê está indo bem — respira, pega a técnica do “comprimento/total” e resolve essas questões rapidinho na prova!

Resposta

\displaystyle 0,2 (ou \displaystyle \tfrac{1}{5}, isto é, \displaystyle 20\%)

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