Resolva por série de potência:
a) y^{\prime \prime}-x^{2} y^{\prime}-y=3+x-x^{2}

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO
y''-x^{2}y'-y=3+x-x^{2}
por séries de potência centradas em x=0. O conteúdo principal é expandir
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
calcular y', y'' e x^{2}y', substituir na EDO e igualar coeficientes de cada x^{n}.

Passo 2

Assumimos
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},\quad y'=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1},\quad y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n}.

Passo 3

Escrevemos também
x^{2}y'=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n+1} =\sum_{k=2}^{\infty}(k-1)\,a_{\,k-1}\,x^{k},
e
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.

Passo 4

Na EDO substituímos e obtemos em potências de x^{n}:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)a_{n-1}x^{n} -\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n},
onde c_{0}=3, c_{1}=1, c_{2}=-1 e c_{n}=0 para n\ge3.

Passo 5

Igualando coeficientes para n=0 e n=1 temos
n=0:\quad 2\cdot1\,a_{2}-a_{0}=3 \quad\Longrightarrow\quad a_{2}=\frac{3+a_{0}}{2},
n=1:\quad 3\cdot2\,a_{3}-a_{1}=1 \quad\Longrightarrow\quad a_{3}=\frac{1+a_{1}}{6}.
Para n\ge2 surge a recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} =a_{n}+(n-1)a_{n-1}+c_{n},
isto é
a_{n+2} =\frac{a_{n}+(n-1)a_{n-1}+c_{n}}{(n+2)(n+1)}.

Passo 6

Usando a recorrência, calculamos mais alguns termos:
Para n=2 c_{2}=-1:
a_{4} =\frac{a_{2}+1\cdot a_{1}-1}{4\cdot3} =\frac{\tfrac{3+a_{0}}{2}+a_{1}-1}{12} =\frac{1+a_{0}+2a_{1}}{24}.
Para n=3 c_{3}=0:
a_{5} =\frac{a_{3}+2a_{2}}{5\cdot4} =\frac{\tfrac{1+a_{1}}{6}+2\cdot\tfrac{3+a_{0}}{2}}{20} =\frac{1+a_{1}+12+4a_{0}}{120} =\frac{13+4a_{0}+a_{1}}{120}.

Resposta

A solução geral em série de potência é
y=a_{0}+a_{1}x +\frac{3+a_{0}}{2}\,x^{2} +\frac{1+a_{1}}{6}\,x^{3} +\frac{1+a_{0}+2a_{1}}{24}\,x^{4} +\frac{13+4a_{0}+a_{1}}{120}\,x^{5} +\cdots
com a_{0}=y(0) e a_{1}=y'(0) livres, e a recorrência para n\ge2:
a_{n+2} =\frac{a_{n}+(n-1)a_{n-1}+c_{n}}{(n+2)(n+1)},
onde c_{0}=3, c_{1}=1, c_{2}=-1 e c_{n}=0 para n\ge3.

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