Uma moeda é tal que a probabilidade de se obter cara é 2 / 5 daquela de se obter coroa em um único lançamento. Em 10 lançamentos, qual a probabilidade de se obter
(7.1) 2 caras?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma moeda que, ao ser lançada, tem uma probabilidade de sair cara que é 25 da probabilidade de sair coroa. Precisamos descobrir qual é a probabilidade de, em 10 lançamentos dessa moeda, saírem exatamente 2 caras.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que é ideal para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes e cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (neste caso, cara ou coroa).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as probabilidades de sair cara ( P(C)) e coroa ( P(K)) em um único lançamento.
Sabemos que:
P(C) = 25 times P(K)
E como a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis deve ser 1:
P(C) + P(K) = 1
Substituindo P(C) na segunda equação:
25P(K) + P(K) = 1
(25 + 1)P(K) = 1
75P(K) = 1
P(K) = 57
Então:
P(C) = 25 times 57 = 27

Passo 3

Agora que temos as probabilidades individuais:
P(C) = 27
P(K) = 57
Queremos saber a probabilidade de obter exatamente 2 caras em 10 lançamentos. Isso é uma aplicação direta da fórmula de probabilidade binomial:
P(k) = C(n, k) times [P(C)]^k times [P(K)]^n - k
Onde:
  • n = 10 (número de lançamentos)
  • k = 2 (número de caras que queremos)
  • C(n, k) é o número de combinações de n itens tomados k a k, também conhecido como “coeficiente binomial”.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial C(n, k):
C(10, 2) = 10!2!(10 - 2)! = 10 times 92 times 1 = 45
  1. Probabilidade de exatamente 2 caras:
[P(C)]^2 = (27)^2 = 449
  1. Probabilidade de 8 coroas:
[P(K)]^8 = (57)^8

Passo 5

Agora, juntando tudo:
P(2 caras) = 45 times 449 times (57)^8
Vamos calcular esse valor:
Primeiro, calculamos (57)^8:
(57)^8 approx 0,0233
Então:
P(2 caras) approx 45 times 449 times 0,0233
Calculando 449:
449 approx 0,0816
Multiplicando:
45 times 0,0816 approx 3,672
3,672 times 0,0233 approx 0,0853

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 2 caras em 10 lançamentos dessa moeda é aproximadamente 8,53%.

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