Uma moeda é viciada, de maneira que as caras são 3 vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Se esta moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de ocorrer cara apenas uma vez?

Passo 1

O enunciado fala de uma moeda viciada em que as “caras” são 3 vezes mais prováveis que as “coroas”. Vamos estudar o experimento de lançar essa moeda duas vezes e achar a probabilidade de obter exatamente uma cara. O conteúdo que vamos usar é noções de probabilidade básica, modelagem via razões e distribuição binomial (pois são dois lançamentos independentes com mesma probabilidade de cara).

Passo 2

Para traduzir “caras são 3 vezes mais prováveis que coroas” em probabilidades, seja p a probabilidade de cara e q a probabilidade de coroa. A condição é
p = 3q
e sabemos que
p + q = 1.
Substituindo p=3q nessa soma, vem
3q + q = 1 \quad\Longrightarrow\quad 4q = 1 \quad\Longrightarrow\quad q = \tfrac{1}{4}.
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p = 3q = 3\cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}, \quad q = \tfrac{1}{4}.

Passo 3

Como os dois lançamentos são independentes e cada um tem probabilidade \tfrac{3}{4} de cara, a probabilidade de obter exatamente uma cara em dois lançamentos segue a distribuição binomial com n=2 e p=\tfrac{3}{4}. A fórmula para exatamente k caras é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui queremos k=1, n=2, p=\tfrac{3}{4} e 1-p=\tfrac{1}{4}, então
\Pr(\text{1 cara}) = \binom{2}{1}\,\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^1\, \Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)^1 = 2 \cdot \tfrac{3}{4}\cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{6}{16} = \tfrac{3}{8}.

Resposta

A probabilidade de ocorrer exatamente uma cara em dois lançamentos é \tfrac{3}{8}.

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