Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro problema, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
a) não tenha acertado nenhum problema;
b) tenha acertado apenas o segundo problema;
c) tenha acertado pelo menos um problema.
a) não tenha acertado nenhum problema;
b) tenha acertado apenas o segundo problema;
c) tenha acertado pelo menos um problema.
Passo 1
O enunciado diz que numa turma de
alunos temos os seguintes dados sobre os dois problemas:
– alunos acertaram o primeiro problema.
– alunos erraram o segundo problema.
– alunos acertaram os dois problemas.
– alunos acertaram exatamente um dos dois problemas.
Precisamos usar teoria de conjuntos (união, interseção e diferença simétrica) e depois transformar contagens em probabilidades dividindo por .
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Precisamos usar teoria de conjuntos (união, interseção e diferença simétrica) e depois transformar contagens em probabilidades dividindo por
Passo 2
Defina os conjuntos
– alunos que acertaram o primeiro problema, logo
.
–
–
alunos que acertaram o segundo problema. Como
erraram o segundo, temos
Sabe-se também
e o número que acertou exatamente um problema é
Passo 3
Use a fórmula da diferença simétrica para achar
:
Passo 4
Calcule o número de alunos que acertaram pelo menos um problema, que é
:
Então o número que não acertou nenhum é
A probabilidade pedida em (a) é
Passo 5
O número de alunos que acertaram apenas o segundo problema é
Logo a probabilidade de (b) é
Passo 6
A probabilidade de ter acertado pelo menos um problema, item (c), é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)