Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro problema, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:
a) não tenha acertado nenhum problema;
b) tenha acertado apenas o segundo problema;
c) tenha acertado pelo menos um problema.

Passo 1

O enunciado diz que numa turma de N alunos temos os seguintes dados sobre os dois problemas:
132 alunos acertaram o primeiro problema.
86 alunos erraram o segundo problema.
120 alunos acertaram os dois problemas.
54 alunos acertaram exatamente um dos dois problemas.
Precisamos usar teoria de conjuntos (união, interseção e diferença simétrica) e depois transformar contagens em probabilidades dividindo por N.

Passo 2

Defina os conjuntos
A = alunos que acertaram o primeiro problema, logo |A|=132.
B = alunos que acertaram o segundo problema. Como 86 erraram o segundo, temos |B|=N-86.
Sabe-se também |A\cap B|=120 e o número que acertou exatamente um problema é
|A\Delta B|=|A|+|B|-2\,|A\cap B|=54.

Passo 3

Use a fórmula da diferença simétrica para achar N:
132 + (N-86) - 2\cdot120 = 54
132 + N - 86 -240 = 54
N -194 = 54 \quad\Longrightarrow\quad N = 248.

Passo 4

Calcule o número de alunos que acertaram pelo menos um problema, que é |A\cup B|:
|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| =132 + (248-86) -120 =132 +162 -120 =174.
Então o número que não acertou nenhum é
248 - 174 = 74.
A probabilidade pedida em (a) é
P(\text{nenhum}) = \frac{74}{248} = \frac{37}{124}.

Passo 5

O número de alunos que acertaram apenas o segundo problema é
|B| - |A\cap B| = 162 - 120 = 42.
Logo a probabilidade de (b) é
P(\text{só segundo}) = \frac{42}{248} = \frac{21}{124}.ó

Passo 6

A probabilidade de ter acertado pelo menos um problema, item (c), é
P(\text{pelo menos um}) = \frac{|A\cup B|}{N} = \frac{174}{248} = \frac{87}{124}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{37}{124}
(b) \displaystyle \frac{21}{124}
(c) \displaystyle \frac{87}{124}

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