Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4 . Para dois lançamentos independentes dessa moeda, encontre a distribuição de probabilidade e a função de distribuição acumulada da variável aleatória numero de caras.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois lançamentos independentes dessa moeda, encontre a distribuição de probabilidade e a função de distribuição acumulada da variável aleatória número de caras.”
Conteúdo: distribuição de probabilidade discreta (Binomial com n=2 e p=0,4).
O que vamos precisar:
  • Entender que o número de caras P(X=k) = binomnk,p^k,(1-p)^n-k num experimento de 2 lançamentos segue F(x) = P(X <= x) = sumi=0^lfloor xrfloor P(X=i) .
  • Saber a fórmula da probabilidade binomial:
  • Saber que a função de distribuição acumulada (CDF) é

Passo 2

Vamos achar o PMF, isto é, P(X=0) = binom20,(0,4)^0,(0,6)^2 = 1 cdot 1 cdot 0,6^2 = 0,36 , P(X=1) = binom21,(0,4)^1,(0,6)^1 = 2 cdot 0,4 cdot 0,6 = 0,48 e P(X=2) = binom22,(0,4)^2,(0,6)^0 = 1 cdot 0,4^2 cdot 1 = 0,16 .
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 3

Agora montamos a função de distribuição acumulada F(x)=P(X<= 0)=P(X=0)=0,36 . Lembrando que F(x)=P(X<= 1)=P(X=0)+P(X=1)=0,36+0,48=0,84 só pode ser 0, 1 ou 2:
  • Para F(x)=P(X<= 2)=1(porque já cobrimos todos os casos) : .
  • Para :
  • Para :
  • Para : á

Resposta

Distribuição de probabilidade (PMF):
P(X=k)= 0,36, & k=0, 0,48, & k=1, 0,16, & k=2, 0, & caso contrário á
Função de distribuição acumulada (CDF):
F(x)= 0, & x<0, 0,36, & 0 <= x <1, 0,84, & 1 <= x <2, 1, & x >= 2

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