Um mol de gás ideal diatômico realiza o ciclo no sentido horário representado pelos estados
- Processo CA: Isocórico.
- Processo AB: Representado por uma linha reta no diagrama P-V.
- Processo BC: Isobárico
Determine:
(b) As quantidades de calor trocado em cada processo.
Determine:
(b) As quantidades de calor trocado em cada processo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre termodinâmica envolvendo um ciclo de um mol de gás ideal diatômico. O ciclo é representado pelos estados A, B e C, conectados por três processos:
- Processo CA: Isocórico (volume constante) com trabalho $ \omega = 0 $.
- Processo AB: Representado por uma linha reta no diagrama pressão-volume (P-V).
- Processo BC: Isobárico (pressão constante) com trabalho $ W = P \Delta V $.
A nossa missão aqui é encontrar as quantidades de calor trocado em cada um desses processos. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de termodinâmica, como as leis dos gases ideais, trabalho e calor em diferentes processos termodinâmicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em termodinâmica, a primeira lei é a nossa melhor amiga. Ela diz que a variação da energia interna ($ \Delta U
Q
W $) que o sistema realiza:
Para um gás ideal diatômico, sabemos que a energia interna depende apenas da temperatura. Além disso, para processos diferentes (isocóricos, isobáricos, etc.), as relações entre $ Q $, $ W $ e $ \Delta U $ mudam.
Passo 3
Vamos abordar cada processo separadamente para encontrar $ Q $ em cada um deles.
Processo CA: Isocórico (Volume Constante)
Nesse processo, o volume não muda, então $ \Delta V = 0 $. Como o trabalho $ W $ é dado por $ W = P \Delta V $, aqui $ W = 0 $.
Aplicando a primeira lei da termodinâmica:
Para um gás diatômico, a variação de energia interna é:
Onde $ C_V $ é a capacidade calorífica a volume constante. Para um gás diatômico, $ C_V = \frac{5}{2}R $, onde $ R $ é a constante dos gases.
Então:
Processo AB: Linha Reta no Diagrama P-V
Uma linha reta no diagrama P-V implica que há uma relação linear entre P e V durante o processo. Isso significa que nem a pressão nem o volume permanecem constantes, e ambos variam de forma proporcional.
Para esse processo, precisamos encontrar a expressão geral para $ Q_{AB} $. Vamos precisar usar a primeira lei da termodinâmica novamente e calcular $ \Delta U $ e $ W $ para esse processo.
Processo BC: Isobárico (Pressão Constante)
Aqui, a pressão permanece constante, então o trabalho é simplesmente:
Aplicando a primeira lei:
Para um gás diatômico, a variação de energia interna é:
E, como citado antes:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos expressar $ \Delta T $ em termos das mudanças de estado para cada processo. Vamos usar a equação dos gases ideais:
Podemos rearranjar para encontrar $ \Delta T $:
Para o Processo CA (Isocórico):
Como o volume é constante ($ \Delta V = 0 $), a equação simplifica para:
Substituindo isso na expressão para $ Q_{CA} $:
Para o Processo BC (Isobárico):
A pressão é constante, então $ \Delta P = 0 $, e a variação de temperatura é:
Substituindo na expressão para $ Q_{BC} $:
Para o Processo AB:
Como é uma linha reta no diagrama P-V, podemos expressar a mudança de temperatura de forma geral usando a equação dos gases ideais, mas isso pode ficar complexo sem informações adicionais. Porém, para o propósito deste exercício, podemos considerar que:
Mas sem informações específicas sobre $ \Delta T_{AB} $ ou $ W_{AB} $, fica difícil prosseguir. Geralmente, precisaríamos de mais dados ou relações para concluir essa parte.
Passo 5
Entretanto, se assumirmos que estamos trabalhando com um ciclo completo, podemos usar a propriedade de que, em um ciclo termodinâmico, a variação de energia interna total é zero ($ \Delta U_{total} = 0 $). Assim:
Já calculamos $ Q_{CA} $ e $ Q_{BC} $, então podemos resolver para $ Q_{AB} $:
Isso nos dá as quantidades de calor trocado em cada processo.
Resposta
As quantidades de calor trocado em cada processo são:
- Processo CA (Isocórico): $ Q_{CA} = \frac{5}{2} V \Delta P $
- Processo AB (Linha reta no P-V): $ Q_{AB} = - \left( \frac{5}{2} V \Delta P + \frac{7}{2} P \Delta V \right) $
- Processo BC (Isobárico): $ Q_{BC} = \frac{7}{2} P \Delta V $