Um mol de um gás ideal monoatômico que se encontra inicialmente a pressão
e volume
sofre um ciclo termodinâmico tal que no início ocorre uma expansão isobárica, na qual o gás passa a ocupar um volume quatro vezes maior, em seguida uma redução da pressão a volume constante e a última etapa é uma compressão isotérmica, voltando o gás ao estado inicial. Calcule:
O calor rejeitado no ciclo.
O calor rejeitado no ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um mol de um gás ideal monoatômico que começa com pressão $ \mathrm{P}{0} $ e volume $ \mathrm{V}{0} $. Esse gás passa por um ciclo termodinâmico com três etapas:
- Expansão Isobárica: O gás expande mantendo a pressão constante, aumentando o volume para quatro vezes o inicial.
- Redução de Pressão a Volume Constante: A pressão diminui enquanto o volume permanece em $ 4\mathrm{V}_{0} $.
- Compressão Isotérmica: O gás é comprimido a temperatura constante, voltando ao estado inicial.
Queremos calcular o calor rejeitado nesse ciclo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica como processos isobárico, isocórico e isotérmico, além das relações de gás ideal.
Passo 2
Etapa 1: Expansão Isobárica
Durante uma expansão isobárica, a pressão $ \mathrm{P} $ permanece constante. Sabemos que:
Como a pressão é constante e o volume aumenta para $ 4\mathrm{V}{0}
\mathrm{T}{1} $) pode ser encontrada usando:
Isolando $ \mathrm{T}_{1} $:
Teoria Aplicada: Na expansão isobárica, o calor $ Q $ fornecido é dado por:
Onde $ \mathrm{C}_{P} $ é a capacidade térmica a pressão constante.
Passo 3
Etapa 2: Redução de Pressão a Volume Constante
Agora, o volume permanece em $ 4\mathrm{V}{0} $ e a pressão diminui de $ \mathrm{P}{0} $ para $ \mathrm{P}’ $. Usando a equação dos gases ideais:
Queremos que o ciclo feche, ou seja, que retorne ao estado inicial $ \mathrm{P}{0}, \mathrm{V}{0}, \mathrm{T}{0} $. Portanto, a temperatura final $ \mathrm{T}{2} $ dessa etapa deve ser:
Teoria Aplicada: Em um processo isocórico, o calor $ Q $ é:
Onde $ \mathrm{C}_{V} $ é a capacidade térmica a volume constante.
Passo 4
Etapa 3: Compressão Isotérmica
Na compressão isotérmica, a temperatura permanece constante ($ \mathrm{T} = \mathrm{T}_{0} $). A relação de trabalho realizado $ W $ em uma compressão isotérmica é:
Como estamos comprimindo de $ 4\mathrm{V}{0} $ para $ \mathrm{V}{0} $:
Teoria Aplicada: Em processos isotérmicos, o calor $ Q $ trocado é igual ao trabalho realizado:
Passo 5
Calculando o Calor Rejeitado no Ciclo
Vamos somar os calores das etapas onde o sistema rejeita calor, ou seja, onde $ Q $ é negativo.
-
Etapa 2 (Isocórica): O gás resfria de $ 4\mathrm{T}{0} $ para $ \mathrm{T}{0} $, então:Para um gás monoatômico, $ \mathrm{C}_{V} = \frac{3}{2} \mathrm{R} $, então:
-
Etapa 3 (Isotérmica): O calor foi rejeitado durante a compressão:Como estamos considerando o calor rejeitado, $ Q_{3} $ também é negativo:
Somando os calores rejeitados:
Como $ n = 1 $:
Resposta
O calor rejeitado no ciclo é:
Onde:
- $ \mathrm{R} $ é a constante dos gases,
- $ \mathrm{T}_{0} $ é a temperatura inicial do gás.