Um mol de um gás monoatômico tem uma pressão inicial P1=2 atm e um volume inicial V1=3 L. O gás é submetido ao seguinte ciclo quase-estático, i) uma expansão isobárica até o volume V2=5 L., ii) um resfriamento a volume constante até atingir ao pressão P3, iii) uma compressão isotérmica até voltar ao seu estado inicial. R=8,31 J/mol.K
Se um ciclo demora 3 segundo, qual é a potência da máquina, e qual é a sua eficiência.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos um mol de um gás monoatômico com pressão inicial $ P_1 = 2 $ atm e volume inicial $ V_1 = 3 $ L. Esse gás passa por um ciclo com três etapas:
  1. Expansão isobárica: o gás expande a pressão constante até o volume $ V_2 = 5 $ L.
  2. Resfriamento a volume constante: o gás é resfriado mantendo o volume constante até atingir a pressão $ P_3 $.
  3. Compressão isotérmica: o gás é comprimido a temperatura constante até voltar ao estado inicial.
Queremos calcular a potência da máquina (energia por unidade de tempo) e a eficiência do ciclo. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases, conceitos de termodinâmica como trabalho e calor em processos isobáricos, isocóricos e isotérmicos, e a definição de eficiência térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades de pressão de atm para pascal (Pa) e volume de litros para metros cúbicos (m³), pois as unidades padrão do Sistema Internacional são mais fáceis de trabalhar.
Sabemos que:
  • $ 1 , atm = 101325 , Pa $
  • $ 1 , L = 0,001 , m^3 $
Então:
  • $ P_1 = 2 , atm = 2 \times 101325 = 202650 , Pa $
  • $ V_1 = 3 , L = 3 \times 0,001 = 0,003 , m^3 $
  • $ V_2 = 5 , L = 5 \times 0,001 = 0,005 , m^3 $

Passo 3

Etapa 1: Expansão Isobárica
Na expansão isobárica, a pressão $ P $ se mantém constante. O trabalho realizado pelo gás nessa etapa é dado por:
P
Onde:
  • $ \Delta V = V_2 - V_1 = 0,005 - 0,003 = 0,002 , m^3 $
Então:
W1 to 2 = P times De
Calor fornecido ($ Q_{1 \to 2} $):
Para processos isobáricos, o calor é:
De
Onde $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante. Para um gás monoatômico:
W1 to 2 = 202650 times 0,002 = 405,3 , J
Primeiro, precisamos encontrar a variação de temperatura $ \Delta T $. Usamos a equação dos gases ideais:
Q1 to 2
Temperatura inicial $ T_1 $:
Q1 to 2 = n Cp De
Temperatura final $ T_2 $:
Cp
Então, $ \Delta T = 122 - 73,3 = 48,7 , K $.
Agora, calculamos $ Q_{1 \to 2} $:
Cp = 52 R

Passo 4

Etapa 2: Resfriamento a Volume Constante
Nesse processo, o volume não muda, então $ \Delta V = 0 $. O trabalho realizado é zero:
De
O calor retirado do sistema é:
W2 to 3 = 0
Onde $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante. Para um gás monoatômico:
Q2 to 3 = n Cv De
Sabemos que a pressão final $ P_3 $ precisa ser encontrada. Usamos a equação dos gases para $ V_2 $ e $ T_2 $, e para $ V_2 $ e $ T_3 $:
Cv
Como o volume é constante, $ V_2 = 0,005 , m^3 $. Da etapa anterior, $ T_2 = 122 , K $. Precisamos que o ciclo volte ao estado inicial, então $ T_3 = T_1 = 73,3 , K $.
Calculando $ Q_{2 \to 3} $:
Cv = 32 R
P3
(O sinal negativo indica que o calor foi retirado do sistema.)

Passo 5

Etapa 3: Compressão Isotérmica
Na compressão isotérmica, a temperatura permanece constante ($ T = T_1 $). O trabalho realizado nessa etapa é dado por:
T = T1
Substituindo os valores:
W3 to 1 = -n R T ln(V1V2)
Calculando:
W3 to 1 = -1 times 8,31 times 73,3 times ln(0,0030,005)
Então:
ln(0,0030,005) = ln(0,6) approx -0,5108
Calor trocado ($ Q_{3 \to 1} $):
Em processos isotérmicos, o calor trocado é igual ao trabalho realizado:
W3 to 1 = -8,31 times 73,3 times (-0,5108) approx 310,7 , J

Passo 6

Calculando o Trabalho Total e o Calor Total
O trabalho total realizado pelo ciclo é a soma dos trabalhos de cada etapa:
Wtotal = W1 to 2 + W2 to 3 + W3 to 1 = 405,3 + 0 + 310,7 = 716 , J
O calor total absorvido pelo sistema é a soma dos calores das etapas onde o calor foi fornecido (positivo):
Qabsorvido = Q1 to 2 + Q3 to 1 = 1012,6 + 310,7 = 1323,3 , J
Nota: O calor $ Q_{2 \to 3} $ é negativo e representa calor retirado, portanto, não é incluído no calor absorvido.

Passo 7

Calculando a Potência da Máquina
A potência ($ P $) é a taxa de trabalho realizado por unidade de tempo. Sabemos que o ciclo demora 3 segundos.
P

Passo 8

Calculando a Eficiência da Máquina
A eficiência ($ \eta $) é dada pela razão entre o trabalho realizado e o calor absorvido:
eta
Substituindo os valores:
eta = WtotalQabsorvido times 100%

Resposta

A potência da máquina é de aproximadamente 238,7 W e a eficiência do ciclo é de cerca de 54,1%.

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