A uma mola de constante elástica k=1 N / m é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de 3 cos omega t N. Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero. Determine
O que acontece quando omega assume valores cada vez mais próximos de 1 .

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola sem amortecimento com massa m=1 kg e rigidez k=1 N/m. A massa é sujeita à força externa F(t)=3cos(omega t) e parte da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. O conteúdo aqui é equação de movimento de movimento harmônico forçado sem amortecimento e fenômeno de ressonância, e precisamos estudar o comportamento da solução quando omegato1.

Passo 2

Escrevendo a equação de Newton e usando m=1 e k=1, temos
x''(t)+x(t)=3cos(omega t),
com condições iniciais
x(0)=0, x'(0)=0

Passo 3

A solução geral é soma da homogênea xh=Acos t+Bsin t com uma particular do tipo xp=Ccos(omega t). Substituindo em
xp''+xp=3cos(omega t)
-omega^2Ccos(omega t)+Ccos(omega t)=3cos(omega t) Longrightarrow C=31-omega^2

Passo 4

Logo
x(t)=Acos t+Bsin t+31-omega^2cos(omega t)
Derivando e aplicando x(0)=0, x'(0)=0 resulta em
A+31-omega^2=0, B=0 ;;Longrightarrow;; A=-31-omega^2,;B=0
Portanto
x(t) =31-omega^2l(cos(omega t)-cos tr)

Passo 5

Usando a fórmula de produto em diferença de cossenos,
cos(omega t)-cos t =-2sin!l((omega+1)t2r)sin!l((omega-1)t2r),
fica
x(t) =-2,31-omega^2, sin!l(tfracomega+12tr)sin!l(tfracomega-12tr)
Quando omega se aproxima de 1, escreva omega=1+varepsilon com varepsilonto0. Então
1-omega^2approx -2varepsilon, omega-12tapproxvarepsilon t2,
e a amplitude se comporta como
gl|31-omega^2sin!l(tfracvarepsilon t2r)gr| approxgl|3-2varepsiloncdotvarepsilon t2gr| =3t4,
isto é, cresce sem limite conforme t aumenta (fenômeno de batimento com envelope que cresce).

Passo 6

No caso exato de ressonância, omega=1, a tentativa anterior falha e faz-se particular do tipo xp=D,tsin t. Substituindo em x''+x=3cos t D=3/2, portanto
x(t)=32,tsin t,
cuja amplitude cresce linearmente em t.

Resposta

Quando omega se aproxima de 1, o denominador 1-omega^2 tende a zero e a amplitude das oscilações cresce sem limite (há batimentos com envelope crescente). No caso exato omega=1 ocorre ressonância pura, com
x(t)=32,tsin t,
ou seja, amplitude que cresce proporcionalmente a t.

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