A uma mola de constante elástica é atada uma massa de 1 kg . A massa sofre ação de uma força externa de N. Se a massa é colocada em movimento de sua posição de equilíbrio e com velocidade inicial zero. Determine
O que acontece quando assume valores cada vez mais próximos de 1 .
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola sem amortecimento com massa kg e rigidez N/m. A massa é sujeita à força externa e parte da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. O conteúdo aqui é equação de movimento de movimento harmônico forçado sem amortecimento e fenômeno de ressonância, e precisamos estudar o comportamento da solução quando .
Passo 2
Escrevendo a equação de Newton e usando e , temos
com condições iniciais
Passo 3
A solução geral é soma da homogênea com uma particular do tipo . Substituindo em
dá
Passo 4
Logo
Derivando e aplicando , resulta em
Portanto
Passo 5
Usando a fórmula de produto em diferença de cossenos,
fica
Quando se aproxima de 1, escreva com . Então
e a amplitude se comporta como
isto é, cresce sem limite conforme t aumenta (fenômeno de batimento com envelope que cresce).
Passo 6
No caso exato de ressonância, omega=1, a tentativa anterior falha e faz-se particular do tipo xp=D,tsin t. Substituindo em x''+x=3cos t dá D=3/2, portanto
x(t)=32,tsin t,
cuja amplitude cresce linearmente em t.
Resposta
Quando omega se aproxima de 1, o denominador 1-omega^2 tende a zero e a amplitude das oscilações cresce sem limite (há batimentos com envelope crescente). No caso exato omega=1 ocorre ressonância pura, com
x(t)=32,tsin t,
ou seja, amplitude que cresce proporcionalmente a t.