Uma mola helicoidal ideal de constante elástica k=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m} encontra-se inicialmente distendida de x_{1}=0,10 \mathrm{~m} em relação ao seu comprimento relaxado. Um agente externo puxa o sistema de forma a esticá-la ainda mais até atingir x_{2}=0,30 \mathrm{~m}. Qual é o trabalho realizado pela força elástica (força restauradora da mola) durante este deslocamento?
a) 16 J
b) -16 J
c) 8,0 \mathrm{~J}
d) -8,0 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi retirado do enunciado):
  • Constante elástica: k=400\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
  • Posição inicial (alongamento inicial): x_1=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Posição final (novo alongamento): x_2=0,30\\ \mathrm{m}.
    O que o problema pede: calcular o trabalho realizado pela força elástica (força restauradora da mola) quando a mola passa de x_1 para x_2.

Passo 2

Lei de Hooke e definição da força elástica. A força restauradora da mola, em função da deformação x a partir do comprimento relaxado, é dada por
F_{\text{el}}(x) = -k\,x.
Explicando as letras:
  • F_{\text{el}}(x) é a componente da força do casco da mola ao longo do deslocamento (em N).
  • k é a constante elástica da mola ( \mathrm{N}/\mathrm{m}).
  • x é o alongamento positivo (em m).
    O sinal negativo indica que a força elástica aponta no sentido oposto ao deslocamento (ela tenta restaurar a mola à posição relaxada).

Passo 3

Definição de trabalho para uma força que varia com a posição. Para uma força F(x) aplicada ao longo de uma trajetória unidimensional, o trabalho da força quando o ponto se move de x_1 para x_2 é
W=\int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx.
Aqui essa é a soma (integral) de pequenos trabalhos F(x)\,dx ao longo do percurso. Como a força elástica depende de x, usamos essa integral.

Passo 4

Aplicando F_{\text{el}}(x)=-k x na integral:
W_{\text{el}}=\int_{x_1}^{x_2} (-k x)\,dx = -k \int_{x_1}^{x_2} x\,dx.
Calcule a integral:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2},
portanto
W_{\text{el}} = -k\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x_1}^{x_2} = -\frac{k}{2}\bigl(x_2^2 - x_1^2\bigr).
Também podemos reescrever como
W_{\text{el}} = \frac{k}{2}\bigl(x_1^2 - x_2^2\bigr),
o que fica mais intuitivo para ver o efeito da variação das posições.

Passo 5

Substituindo os números dados (tudo retirado do enunciado):
Calcule x_1^2 e x_2^2:
x_1^2 = (0,10)^2 = 0,01\quad\mathrm{m}^2,
x_2^2 = (0,30)^2 = 0,09\quad\mathrm{m}^2.
Agora use a fórmula
W_{\text{el}} = \frac{k}{2}\bigl(x_1^2 - x_2^2\bigr).
Com k=400\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}:
\frac{k}{2} = \frac{400}{2} = 200\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
E
x_1^2 - x_2^2 = 0,01 - 0,09 = -0,08\\ \mathrm{m}^2.
Multiplicando:
W_{\text{el}} = 200 \times (-0,08) = -16\\ \mathrm{J}.
(Note que \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{J}.)

Passo 6

Interpretação física e método alternativo (para fixar a ideia). O resultado negativo significa que a força elástica realiza trabalho negativo durante o processo: a força da mola está apontando contra o sentido do deslocamento (ela se opõe ao alongamento adicional). Em termos de energia potencial elástica, a energia potencial aumenta em +16\\ \mathrm{J}; por conservação, o trabalho realizado pela mola é o negativo dessa variação, isto é -16\\ \mathrm{J}. O mesmo valor pode ser obtido usando U(x)=\tfrac12 k x^2 e W_{\text{el}}= -\Delta U.

Resposta

b) -16\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados