Uma placa plana, fina e uniforme em formato de “L” é construída a partir da união de três placas quadradas idênticas de lado
cada. Se posicionarmos os quadrados de forma que o vértice interno do “L” coincida com a coordenada ( 2,
) m e o canto externo inferior esquerdo esteja na origem ( 0,0 ), quais serão as coordenadas (
;
) do centro de massa do sistema?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
- São três placas quadradas idênticas, cada uma com lado
. - O canto externo inferior esquerdo do conjunto está em
. - O vértice interno (o “canto côncavo” do formato em L) está em
.
O que a questão pede: encontrar as coordenadasdo centro de massa da placa em forma de L.
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): como as placas são finas, planas e uniformes, a massa de cada quadrado é proporcional à sua área. Para um corpo composto por partes planas uniformes, o centro de massa é a média ponderada das coordenadas dos centróides de cada parte, ponderada pelas áreas. A fórmula geral que usaremos é
onde
e
são as coordenadas do centróide da
-ésima peça e
é a área da
-ésima peça. Como a densidade é uniforme, não precisamos converter áreas em massas; áreas já servem como pesos. Aqui cada quadrado tem área
Passo 3
Determinar as coordenadas dos centros (centróides) dos três quadrados a partir da posição geométrica dada:
- Quadrado 1 (inferior-esquerdo): ocupa
, . O centro fica em . - Quadrado 2 (inferior-direito): ocupa
, . O centro fica em . - Quadrado 3 (superior-esquerdo): ocupa
, . O centro fica em .
Esses valores vêm diretamente da simetria de cada quadrado: o centro está a uma distânciados lados.
Passo 4
Calcular
. Substituindo na fórmula e lembrando que
(todas iguais), podemos simplificar:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calcular
de forma análoga:
Passo 6
Interpretação final e escolha da alternativa: ambos os componentes do centro de massa são
, ou aproximadamente
. Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
d)