Uma placa plana, fina e uniforme em formato de “L” é construída a partir da união de três placas quadradas idênticas de lado a=2,0 \mathrm{~m} cada. Se posicionarmos os quadrados de forma que o vértice interno do “L” coincida com a coordenada ( 2, 0 ; 2,0 ) m e o canto externo inferior esquerdo esteja na origem ( 0,0 ), quais serão as coordenadas ( x_{\mathrm{cm}}; y_{\mathrm{cm}} ) do centro de massa do sistema?
a) (1,0 ; 1,0) \mathrm{m}
b) (1,33 ; 1,33) \mathrm{m}
c) (1,50 ; 1,50) \mathrm{m}
d) (1,67 ; 1,67) \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
  • São três placas quadradas idênticas, cada uma com lado a=2,0\\ \mathrm{m}.
  • O canto externo inferior esquerdo do conjunto está em (0,0).
  • O vértice interno (o “canto côncavo” do formato em L) está em (2,0;2,0)\\ \mathrm{m}.
    O que a questão pede: encontrar as coordenadas \bigl(x_{\mathrm{cm}};y_{\mathrm{cm}}\bigr) do centro de massa da placa em forma de L.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): como as placas são finas, planas e uniformes, a massa de cada quadrado é proporcional à sua área. Para um corpo composto por partes planas uniformes, o centro de massa é a média ponderada das coordenadas dos centróides de cada parte, ponderada pelas áreas. A fórmula geral que usaremos é
x_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_{i} x_i A_i}{\sum_{i} A_i}, \qquad y_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_{i} y_i A_i}{\sum_{i} A_i},
onde x_i e y_i são as coordenadas do centróide da i-ésima peça e A_i é a área da i-ésima peça. Como a densidade é uniforme, não precisamos converter áreas em massas; áreas já servem como pesos. Aqui cada quadrado tem área
A=a^2=(2,0)^2=4,0\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Determinar as coordenadas dos centros (centróides) dos três quadrados a partir da posição geométrica dada:
  • Quadrado 1 (inferior-esquerdo): ocupa x\in[0,2], y\in[0,2]. O centro fica em (x_1,y_1)=(1,1).
  • Quadrado 2 (inferior-direito): ocupa x\in[2,4], y\in[0,2]. O centro fica em (x_2,y_2)=(3,1).
  • Quadrado 3 (superior-esquerdo): ocupa x\in[0,2], y\in[2,4]. O centro fica em (x_3,y_3)=(1,3).
    Esses valores vêm diretamente da simetria de cada quadrado: o centro está a uma distância a/2=1,0\\ \mathrm{m} dos lados.

Passo 4

Calcular x_{\mathrm{cm}}. Substituindo na fórmula e lembrando que A_1=A_2=A_3=A (todas iguais), podemos simplificar:
x_{\mathrm{cm}}=\frac{x_1A+x_2A+x_3A}{A+A+A}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}.
Substituindo os valores:
x_{\mathrm{cm}}=\frac{1+3+1}{3}=\frac{5}{3}=1,6\overline{6}\\ \mathrm{m}\approx1,67\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular y_{\mathrm{cm}} de forma análoga:
y_{\mathrm{cm}}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}=\frac{1+1+3}{3}=\frac{5}{3}=1,6\overline{6}\\ \mathrm{m}\approx1,67\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e escolha da alternativa: ambos os componentes do centro de massa são \dfrac{5}{3}\\ \mathrm{m}, ou aproximadamente 1,67\\ \mathrm{m}. Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) \bigl(1,67; 1,67\bigr)\\ \mathrm{m}

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