Uma mola ideal de constante elástica
está comprimida por
. Um bloco de 4 kg está preso à extremidade da mola e a mola é comprimida em
e então solta. O bloco se move sobre uma superfície horizontal sem atrito. Determine, usando integrais no processo, a velocidade do bloco após ele ter se deslocado 2 m a partir do ponto onde a mola foi comprimida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma mola ideal que está comprimida e um bloco preso a ela que é solto numa superfície sem atrito. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica clássica, especificamente envolvendo leis de conservação de energia e força elástica da mola. Para resolver, vamos precisar usar integrais para calcular a velocidade do bloco após ele se mover 2 metros a partir do ponto onde a mola foi comprimida.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a força que a mola exerce no bloco quando está comprimida. A força de uma mola é dada pela Lei de Hooke:
Onde:
- $ F $ é a força da mola,
- $ k $ é a constante elástica da mola,
- $ x $ é a deformação da mola (no caso, a compressão).
Passo 3
Quando a mola é solta, essa força vai acelerar o bloco. Para achar a aceleração, usamos a segunda lei de Newton:
Onde:
- $ m $ é a massa do bloco,
- $ a $ é a aceleração.
Substituindo a força da mola na equação de Newton:
Então, a aceleração é:
Passo 4
Sabemos que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Mas como queremos a velocidade após mover 2 metros, podemos usar o trabalho e energia. A energia armazenada na mola quando comprimida é a energia potencial elástica:
Passo 5
Quando a mola libera o bloco, essa energia potencial se transforma em energia cinética ($ E_{cin} $) do bloco e também em trabalho realizado contra forças como o atrito. Mas como a superfície é sem atrito, toda a energia se transforma em energia cinética:
Podemos simplificar e resolver para $ v $:
Passo 6
No entanto, como o bloco se move 2 metros após ser solto, precisamos considerar que a força da mola diminui à medida que o bloco se move. Isso significa que precisamos integrar a aceleração sobre a distância para encontrar a velocidade final.
Começamos com a relação $ F = m \cdot a $, onde $ F = -k x $. A aceleração $ a $ pode ser expressa como:
Usando a relação $ v = \frac{dx}{dt} $, podemos reescrever a aceleração como:
Substituindo na equação da força:
Passo 7
Agora, reescrevemos a equação para separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Integrando ambos os lados para encontrar a velocidade como função da posição:
Passo 8
Calculando as integrais:
Isso fica:
Simplificando:
Porém, vamos ajustar o sinal porque a velocidade será positiva na direção do movimento:
Passo 9
Agora, substituímos os valores dados:
- $ k = 250 , N/m $
- $ m = 4 , kg $
- $ x = 2 , m $
Então:
Portanto:
Resposta
A velocidade do bloco após se deslocar 2 metros é aproximadamente 15,81 m/s.