Uma mola ideal de constante elástica k=250 N / m está comprimida por 0,5 m. Um bloco de 4 kg está preso à extremidade da mola e a mola é comprimida em 0,5 m e então solta. O bloco se move sobre uma superfície horizontal sem atrito. Determine, usando integrais no processo, a velocidade do bloco após ele ter se deslocado 2 m a partir do ponto onde a mola foi comprimida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma mola ideal que está comprimida e um bloco preso a ela que é solto numa superfície sem atrito. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica clássica, especificamente envolvendo leis de conservação de energia e força elástica da mola. Para resolver, vamos precisar usar integrais para calcular a velocidade do bloco após ele se mover 2 metros a partir do ponto onde a mola foi comprimida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a força que a mola exerce no bloco quando está comprimida. A força de uma mola é dada pela Lei de Hooke:
F = -k cdot x
Onde:
  • $ F $ é a força da mola,
  • $ k $ é a constante elástica da mola,
  • $ x $ é a deformação da mola (no caso, a compressão).

Passo 3

Quando a mola é solta, essa força vai acelerar o bloco. Para achar a aceleração, usamos a segunda lei de Newton:
F = m cdot a
Onde:
  • $ m $ é a massa do bloco,
  • $ a $ é a aceleração.
Substituindo a força da mola na equação de Newton:
m
Então, a aceleração é:
a

Passo 4

Sabemos que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Mas como queremos a velocidade após mover 2 metros, podemos usar o trabalho e energia. A energia armazenada na mola quando comprimida é a energia potencial elástica:
Epot = 12 k x^2

Passo 5

Quando a mola libera o bloco, essa energia potencial se transforma em energia cinética ($ E_{cin} $) do bloco e também em trabalho realizado contra forças como o atrito. Mas como a superfície é sem atrito, toda a energia se transforma em energia cinética:
Ecin
Podemos simplificar e resolver para $ v $:
12 k x^2 = 12 m v^2

Passo 6

No entanto, como o bloco se move 2 metros após ser solto, precisamos considerar que a força da mola diminui à medida que o bloco se move. Isso significa que precisamos integrar a aceleração sobre a distância para encontrar a velocidade final.
Começamos com a relação $ F = m \cdot a $, onde $ F = -k x $. A aceleração $ a $ pode ser expressa como:
F = m cdot a
Usando a relação $ v = \frac{dx}{dt} $, podemos reescrever a aceleração como:
F = -k x
Substituindo na equação da força:
a

Passo 7

Agora, reescrevemos a equação para separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v
Integrando ambos os lados para encontrar a velocidade como função da posição:
x

Passo 8

Calculando as integrais:
[12 v^2]0^v = -km [12 x^2]0^2
Isso fica:
12 v^2 = -km cdot 12 (2)^2
Simplificando:
v^2 = -km cdot 2^2
Porém, vamos ajustar o sinal porque a velocidade será positiva na direção do movimento:
v^2 = km cdot 2^2

Passo 9

Agora, substituímos os valores dados:
  • $ k = 250 , N/m $
  • $ m = 4 , kg $
  • $ x = 2 , m $
Então:
k = 250 , N/m
Portanto:
m = 4 , kg

Resposta

A velocidade do bloco após se deslocar 2 metros é aproximadamente 15,81 m/s.

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