Mostre que uma caixa em forma de paralelepípedo (com tampa) e área de superfície A dada terá o maior volume se for cúbica.

Passo 1

A gente tem uma caixa em forma de paralelepípedo com arestas positivas x, y e z, e área de superfície total fixa A (com tampa). O conteúdo aqui é otimização sob restrição e vamos usar a desigualdade AM-GM para descobrir quando o volume V = xyz fica máximo.

Passo 2

Definimos o volume e a restrição de área:
V = xyz
A = 2(xy + yz + zx)
Logo a condição de restrição é
xy + yz + zx = A2

Passo 3

Vamos aplicar a desigualdade AM-GM a três números positivos a = xy, b = yz, c = zx. A desigualdade diz que
a + b + c3 >= (abc)^1/3
Substituindo, temos
xy + yz + zx3 >= (xy cdot yz cdot zx)^1/3 = (x^2y^2z^2)^1/3 = (xyz)^2/3

Passo 4

Agora usamos a restrição xy + yz + zx = A/2 na desigualdade:
(xyz)^2/3 <= 13cdot A2 = A6
Elevando ambos os lados a 3/2,
xyz <= l(A6r)^3/2

Passo 5

A desigualdade AM-GM atinge igualdade exatamente quando a = b = c, ou seja, quando
xy = yz = zx
Isso só acontece se x = y = z. Portanto, o volume máximo é obtido quando a caixa é um cubo.

Resposta

A caixa de maior volume, sujeita à área de superfície fixa A, é cúbica, ou seja, tem arestas iguais (x = y = z).

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