Mostre que uma caixa em forma de paralelepípedo (com tampa) e área de superfície
dada terá o maior volume se for cúbica.
Passo 1
A gente tem uma caixa em forma de paralelepípedo com arestas positivas x, y e z, e área de superfície total fixa A (com tampa). O conteúdo aqui é otimização sob restrição e vamos usar a desigualdade AM-GM para descobrir quando o volume V = xyz fica máximo.
Passo 2
Definimos o volume e a restrição de área:
Logo a condição de restrição é
Passo 3
Vamos aplicar a desigualdade AM-GM a três números positivos a = xy, b = yz, c = zx. A desigualdade diz que
Substituindo, temos
Passo 4
Agora usamos a restrição
na desigualdade:
Elevando ambos os lados a 3/2,
Passo 5
A desigualdade AM-GM atinge igualdade exatamente quando a = b = c, ou seja, quando
Isso só acontece se x = y = z. Portanto, o volume máximo é obtido quando a caixa é um cubo.
Resposta
A caixa de maior volume, sujeita à área de superfície fixa A, é cúbica, ou seja, tem arestas iguais (x = y = z).