1. Qual é o retângulo de área máxima inscrito em um semicírculo de raio R ?

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de área máxima inscrito num semicírculo de raio R. Vamos parametrizar o retângulo, escrever sua área em função de uma variável e usar derivadas para encontrar o máximo.

Passo 2

Adotamos x como metade da base do retângulo, de modo que a base vale 2x. A altura y satisfaz a equação do círculo de raio R:
x^2 + y^2 = R^2
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y = raizR^2 - x^2

Passo 3

A área do retângulo em função de x é
A(x) = (base)times(a<ura) = 2x cdot y = 2x,raizR^2 - x^2

Passo 4

Para maximizar A(x), calculamos a derivada:
A'(x) =2raizR^2 - x^2 + 2xcdot-xraizR^2 - x^2 =2(R^2 - x^2) - 2x^2raizR^2 - x^2 =2R^2 - 4x^2raizR^2 - x^2
Igualando A'(x)=0 vem
2R^2 - 4x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = R^22 Longrightarrow x = Rraiz2

Passo 5

Substituindo x = tfracRraiz2 em y = raizR^2 - x^2, obtemos
y = raizR^2 - R^22 = Rraiz2
Portanto, o retângulo de área máxima tem base
2x = 2cdotRraiz2 = raiz2,R
e altura
y = Rraiz2

Resposta

O retângulo de área máxima inscrito no semicírculo de raio R tem base de comprimento raiz2,R e altura de comprimento tfracRraiz2.

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