Uma montagem eletrônica é formada por dois subsistemas. Suponha que:
  • A probabilidade de o primeiro sistema falhar é 0,200,20.
  • A probabilidade de ambos falharem simultaneamente é 0,150,15.
  • A probabilidade de o segundo sistema falhar sozinho é 0,150,15.
    Responda:
    a) Qual a probabilidade de o primeiro sistema falhar, dado que o segundo sistema falhou?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois sistemas eletrônicos que podem falhar. As informações dadas são:
  • Probabilidade de o primeiro sistema falhar (P(A)): 0,20
  • Probabilidade de ambos os sistemas falharem ao mesmo tempo (P(A e B)): 0,15
  • Probabilidade de o segundo sistema falhar sozinho (P(B)): 0,15
Queremos descobrir a probabilidade de o primeiro sistema falhar, dado que o segundo sistema já falhou, ou seja, $ P(A \mid B) $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e probabilidade conjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da probabilidade condicional:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
Onde:
  • $ P(A \mid B) $ é a probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu.
  • $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de A e B ocorrerem juntos.
  • $ P(B) $ é a probabilidade de B ocorrer.

Passo 3

Já temos $ P(A \cap B) = 0,15 $. Mas precisamos de $ P(B) $. Sabemos que $ P(B) $ pode acontecer de duas formas:
  1. O segundo sistema falha sozinho: $ P(B sozinho) = 0,15 $
  2. Ambos os sistemas falham juntos: $ P(A \cap B) = 0,15 $
Portanto, a probabilidade total de B ocorrer é a soma dessas duas situações:
P(A cap B) = 0,15

Passo 4

Agora que temos $ P(A \cap B) $ e $ P(B) $, podemos substituir na fórmula da probabilidade condicional:
P(A cap B)

Resposta

A probabilidade de o primeiro sistema falhar, dado que o segundo sistema falhou, é 0,50 (ou 50%).

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