9 x^2+16 z^2=144 e 3 y+9 z=27
Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido S, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
b) Na ordem de integração dydxdz, ou seja, em que y é a variável totalmente dependente, x é a variável parcialmente dependente e z é a variável independente, é possível utilizar uma única integral tripla para calcular o volume de S, cujos limitantes de integração são dados por:

Passo 1

Primeiro, o sólido S é aquele contido no cilindro 9x²+16z²≤144, limitado em y pela base y=0 e pelo plano 3y+9z=27. Vamos usar a ordem de integração dy
dx
dz.

Passo 2

Para cada (x,z) fixo, y varia entre a base y=0 e o plano 3y+9z=27. Da equação do plano segue y=(27−9z)/3=9−3z. Logo: 0≤y≤9−3z.

Passo 3

Para cada z fixo, x está dentro do cilindro 9x²+16z²≤144. Isolando x²: x²≤(144−16z²)/9, logo x varia de −√((144−16z²)/9) a +√((144−16z²)/9). Simplificando: −(4/3)√(9−z²)≤x≤(4/3)√(9−z²).

Passo 4

A variável z é totalmente livre dentro do cilindro e respeita y≥0. Do cilindro temos z²≤9 ⇒ −3≤z≤3; e de y≥0 vem 9−3z≥0 ⇒ z≤3 (já coberto). Assim: −3≤z≤3.

Passo 5

Montando a integral tripla na ordem dy
dx
dz:
V=integralz=-3^3 integralx=-43raiz9-z^2^43raiz9-z^2 integraly=0^9-3z dy,dx,dz

Resposta

V=integralz=-3^3integralx=-43raiz9-z^2^43raiz9-z^2integraly=0^9-3zdy,dx,dz

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