Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido
, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
b) Na ordem de integração
, ou seja, em que
é a variável totalmente dependente,
é a variável parcialmente dependente e
é a variável independente, é possível utilizar uma única integral tripla para calcular o volume de
, cujos limitantes de integração são dados por:
b) Na ordem de integração
Passo 1
Primeiro, o sólido S é aquele contido no cilindro 9x²+16z²≤144, limitado em y pela base y=0 e pelo plano 3y+9z=27. Vamos usar a ordem de integração dy
dx
dz.
dx
dz.
Passo 2
Para cada (x,z) fixo, y varia entre a base y=0 e o plano 3y+9z=27. Da equação do plano segue y=(27−9z)/3=9−3z. Logo: 0≤y≤9−3z.
Passo 3
Para cada z fixo, x está dentro do cilindro 9x²+16z²≤144. Isolando x²: x²≤(144−16z²)/9, logo x varia de −√((144−16z²)/9) a +√((144−16z²)/9). Simplificando: −(4/3)√(9−z²)≤x≤(4/3)√(9−z²).
Passo 4
A variável z é totalmente livre dentro do cilindro e respeita y≥0. Do cilindro temos z²≤9 ⇒ −3≤z≤3; e de y≥0 vem 9−3z≥0 ⇒ z≤3 (já coberto). Assim: −3≤z≤3.
Passo 5
Montando a integral tripla na ordem dy
dx
dz:
dx
dz: