Usando a definição, calcule a derivada de f(x)=cos x no ponto pi4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição de derivada, a taxa de variação de f(x)=cos x no ponto x = pi4. Vamos usar o conceito de derivada pelo limite
f'(a) = limhto0 f(a+h) - f(a)h,
aplicado em a = pi4.

Passo 2

Substituindo f(x)=cos x e a=pi4 na definição, temos
f'l(tfracpi4r) = limhto0 cosl(tfracpi4+hr) - cosl(tfracpi4r)h

Passo 3

Para simplificar o numerador, usamos a identidade trigonométrica
cos(A+B) - cos A = -2,sin!l(A+tfracB2r),sin!l(tfracB2r)
Aqui A=tfracpi4 e B=h, então
cosl(tfracpi4+hr)-cosl(tfracpi4r) = -2,sin!l(tfracpi4+tfrach2r),sin!l(tfrach2r)

Passo 4

Substituindo isso no limite,
f'l(tfracpi4r) = limhto0 -2,sin!l(tfracpi4+tfrach2r),sin!l(tfrach2r)h = -2,sin!l(tfracpi4r), limhto0sin!l(tfrach2r)h
Como sin(tfrach2)/(h) = tfrac12l(sin(tfrach2)/(tfrach2)r) e limuto0sin(u)/u=1, obtemos
f'l(tfracpi4r) = -2,sin!l(tfracpi4r),12 = -sin!l(tfracpi4r)

Passo 5

Finalmente, como sin(tfracpi4)=tfracraiz22, concluímos
f'l(tfracpi4r) = -raiz22

Resposta

-raiz22

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