Suponha que em uma loja, os clientes chegam a uma taxa média de 2 clientes por hora (ou seja, a taxa de chegada é de 2 clientes/hora) e o tempo de espera entre a chegada de dois clientes consecutivos tem distribuição exponencial.
a) Qual é a probabilidade de que o tempo de espera até a chegada de um cliente seja inferior a 30 minutos?
b) Qual é o tempo médio de espera entre as chegadas dos clientes?
a) Qual é a probabilidade de que o tempo de espera até a chegada de um cliente seja inferior a 30 minutos?
b) Qual é o tempo médio de espera entre as chegadas dos clientes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Taxa média de chegadas:
clientes por hora. - O tempo entre chegadas consecutivas tem distribuição exponencial (ou seja, o tempo até a próxima chegada é uma v.a. exponencial).
- Pergunta (a): qual é a probabilidade de que o tempo de espera até a chegada de um cliente seja inferior a 30 minutos?
- Pergunta (b): qual é o tempo médio de espera entre as chegadas dos clientes?
Observação importante: convertendo unidades,
minutos correspondem a
horas, então vamos trabalhar com
h quando necessário.
Passo 2
Vamos entender o que significa “tempo entre chegadas tem distribuição exponencial” e escrever as fórmulas que vamos usar.
- Se
é o tempo até a próxima chegada e tem distribuição exponencial com parâmetro , a função densidade de probabilidade (pdf) é
Aqui
é a taxa de chegadas (unidade: clientes por hora) e
é o tempo em horas.
- A função distribuição acumulada (cdf), que dá a probabilidade de
ser menor que um certo tempo , é
Essa fórmula vem de integrar a pdf de
até
.
Portanto, para responder (a) vamos usar
.
Passo 3
Calcular a probabilidade pedida em (a):
- Substituindo
e na expressão da cdf, obtemos
- Essa é a forma exata. Se quisermos uma aproximação numérica, lembrando que
, temos
Ou seja, aproximadamente
, que em porcentagem é cerca de
.
Passo 4
Pequena explicação intuitiva (útil para a prova): a distribuição exponencial descreve o tempo entre eventos de um processo de Poisson com taxa constante
. A expressão
cresce de
(em
) até
(quando
), e dá precisamente a probabilidade de que o próximo evento ocorra antes de
. A unidade de
é adimensional porque
(por hora) multiplicado por
(em horas) cancela as unidades.
Passo 5
Agora a pergunta (b): calcular o tempo médio de espera
.
- A fórmula teórica para a esperança da exponencial é
Vou mostrar como obter isso rapidamente pela integral (isso costuma aparecer na prova):
Fazemos integração por partes. Escolha
e
. Então
e uma primitiva de
é
(porque
). Assim
- O termo
(exponencial domina polinomial), e para esse termo vale . Então sobra
Logo
.
Passo 6
Aplicando ao nosso caso com
clientes/hora:
Convertendo para minutos:
horas
minutos. Então o tempo médio de espera entre chegadas é
minutos.
Resposta
a)
(≈
)
b)
b)