Suponha que em uma loja, os clientes chegam a uma taxa média de 2 clientes por hora (ou seja, a taxa de chegada é de 2 clientes/hora) e o tempo de espera entre a chegada de dois clientes consecutivos tem distribuição exponencial.
a) Qual é a probabilidade de que o tempo de espera até a chegada de um cliente seja inferior a 30 minutos?
b) Qual é o tempo médio de espera entre as chegadas dos clientes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Taxa média de chegadas: \lambda = 2 clientes por hora.
  • O tempo entre chegadas consecutivas tem distribuição exponencial (ou seja, o tempo até a próxima chegada é uma v.a. exponencial).
  • Pergunta (a): qual é a probabilidade de que o tempo de espera até a chegada de um cliente seja inferior a 30 minutos?
  • Pergunta (b): qual é o tempo médio de espera entre as chegadas dos clientes?
Observação importante: convertendo unidades, 30 minutos correspondem a 0,5 horas, então vamos trabalhar com t=0,5 h quando necessário.

Passo 2

Vamos entender o que significa “tempo entre chegadas tem distribuição exponencial” e escrever as fórmulas que vamos usar.
  • Se T é o tempo até a próxima chegada e T tem distribuição exponencial com parâmetro \lambda, a função densidade de probabilidade (pdf) é
f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad t\ge 0.
Aqui \lambda é a taxa de chegadas (unidade: clientes por hora) e t é o tempo em horas.
  • A função distribuição acumulada (cdf), que dá a probabilidade de T ser menor que um certo tempo t, é
F_T(t)=P(T<t)=1-e^{-\lambda t},\qquad t\ge 0.
Essa fórmula vem de integrar a pdf de 0 até t.
Portanto, para responder (a) vamos usar P(T<0,5)=F_T(0,5)=1-e^{-\lambda\cdot 0,5}.

Passo 3

Calcular a probabilidade pedida em (a):
  • Substituindo \lambda=2 e t=0,5 na expressão da cdf, obtemos
P(T<0,5)=1-e^{-2\cdot 0,5}=1-e^{-1}.
  • Essa é a forma exata. Se quisermos uma aproximação numérica, lembrando que e^{-1}=1/e\approx 0,367879\ldots, temos
1-e^{-1}\approx 1-0,367879\ldots \approx 0,632120\ldots
Ou seja, aproximadamente 0,6321, que em porcentagem é cerca de 63,21\%.

Passo 4

Pequena explicação intuitiva (útil para a prova): a distribuição exponencial descreve o tempo entre eventos de um processo de Poisson com taxa constante \lambda. A expressão 1-e^{-\lambda t} cresce de 0 (em t=0) até 1 (quando t\to\infty), e dá precisamente a probabilidade de que o próximo evento ocorra antes de t. A unidade de \lambda t é adimensional porque \lambda (por hora) multiplicado por t (em horas) cancela as unidades.

Passo 5

Agora a pergunta (b): calcular o tempo médio de espera E[T].
  • A fórmula teórica para a esperança da exponencial é
E[T]=\frac{1}{\lambda}.
Vou mostrar como obter isso rapidamente pela integral (isso costuma aparecer na prova):
E[T]=\int_{0}^{\infty} t\,f_T(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} t\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Fazemos integração por partes. Escolha u=t e dv=\lambda e^{-\lambda t}\,dt. Então du=dt e uma primitiva de dv é v=-e^{-\lambda t} (porque \frac{d}{dt}(-e^{-\lambda t})=\lambda e^{-\lambda t}). Assim
\int_{0}^{\infty} t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = \Big[ -t e^{-\lambda t}\Big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt.
  • O termo \lim_{t\to\infty} t e^{-\lambda t}=0 (exponencial domina polinomial), e para t=0 esse termo vale 0. Então sobra
\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt = \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_0^{\infty}=\frac{1}{\lambda}.
Logo E[T]=\dfrac{1}{\lambda}.

Passo 6

Aplicando ao nosso caso com \lambda=2 clientes/hora:
E[T]=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{2}=0,5\\ \text{h}.
Convertendo para minutos: 0,5 horas \times 60\\ \text{min/h}=30 minutos. Então o tempo médio de espera entre chegadas é 30 minutos.

Resposta

a) 1-e^{-1}\approx 0,6321 (≈ 63,21\%)
b) E[T]=\dfrac{1}{2}=0,5\\ \text{h}=30\\ \text{min}

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