Um dos valores de sen x, cos x ou tan x é dado. Determine os outros dois valores nos intervalos dados:
tan x=12, x in[pi, 3 pi2]

Passo 1

O enunciado diz que tan x = tfrac12 e que x pertence ao intervalo [pi,tfrac3pi2]. Queremos encontrar sin x e cos x. Para isso vamos usar a relação trigonométrica
tan x = sin xcos x
e a identidade pitagórica
sin^2x + cos^2x = 1,
além de considerar os sinais de sin x e cos x no quadrante correto.

Passo 2

O intervalo [pi,tfrac3pi2] corresponde ao terceiro quadrante, onde sin x e cos x são ambos negativos, mas tan x é positivo (pois é quociente de dois negativos). Logo, ao final teremos sin x<0 e cos x<0.

Passo 3

Para achar as magnitudes de sin x e cos x podemos imaginar um triângulo retângulo auxiliar em que, por definição de tangente,
cateto oposto = 1, cateto adjacente = 2
A hipotenusa vale
raiz1^2 + 2^2 = raiz5
Assim,
|sin x| = 1raiz5, |cos x| = 2raiz5

Passo 4

Levando em conta que em [pi,tfrac3pi2] ambos seno e cosseno são negativos, temos
sin x = -1raiz5, cos x = -2raiz5

Resposta

sin x = -1raiz5, cos x = -2raiz5

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