Mostrar que:
n^{3}+n é divisível por 3 \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \,n^{3}+n é divisível por 3 para todo n\in\mathbb{N}. Em outras palavras, quer-se provar que
3 \mid \bigl(n^{3}+n\bigr)
para qualquer n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Basta ver um caso simples para encontrar um contraexemplo. Tome n=1. Então
1^{3}+1 = 1 + 1 = 2.
Como 2 não é múltiplo de 3, conclui-se que \,n^{3}+n nem sempre é divisível por 3.

Resposta

A afirmação é falsa: para n=1 temos 1^{3}+1=2, que não é divisível por 3.

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