Mostrar que:
n^{5}+n é divisível por 5 \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expressão
n^5 + n
é divisível por 5 para todo n\in\mathbb{N}. Isto equivale a afirmar que
n^5 + n \equiv 0 \pmod{5}
sempre. Vamos testar alguns valores de n para verificar se a afirmação é plausível.

Passo 2

Calculemos para n=1:
1^5 + 1 = 1 + 1 = 2.
Como 2 não é múltiplo de 5, já encontramos um contraexemplo que mostra que a afirmação falha para n=1.

Passo 3

Como existe pelo menos um n\in\mathbb{N} (por exemplo n=1) tal que n^5 + n não é divisível por 5, concluímos que a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa, pois para n=1 temos 1^5+1=2, que não é divisível por 5.

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