Mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que
divide
. O conteúdo que vamos usar aqui é da Teoria dos Números, mais especificamente sobre aritmética modular e o Pequeno Teorema de Fermat. Vamos precisar entender como trabalhar com congruências e propriedades de potências de números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
divide
. Isso quer dizer que quando a gente divide
por
, o resto dessa divisão é zero. Em termos de congruência, isso pode ser escrito como:
O que simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos utilizar o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que se
é um número primo e
é um inteiro que não é múltiplo de
, então:
No nosso caso,
(que é primo) e
(que não é múltiplo de
). Aplicando o teorema, temos:
Passo 4
Observando que
, podemos reescrever a congruência:
Isso significa que
é uma raiz de
módulo
, ou seja:
Vamos verificar qual dessas é verdadeira.
Passo 5
Para descobrir qual é, calculamos
. Uma forma prática é calcular potências de 2 reduzidas módulo 47 passo a passo:
Continuando esse processo até chegar em
, descobrimos que:
Resposta
Portanto,
divide
, ou seja,
.