Verificar se a aplicação T: R longrightarrow R, tal que T(x)=3 x é uma transformação linear.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a aplicação T: R longrightarrow R , definida por T(x) = 3x , é uma transformação linear. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de transformação linear, que é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Precisamos verificar duas propriedades principais para confirmar se T é linear.

Passo 2

A primeira propriedade que devemos verificar é se T preserva a adição. Isso significa que para quaisquer dois números reais x e y , a aplicação de T na soma deles deve ser igual à soma das aplicações de T separadamente. Em termos matemáticos:
T(x + y) = T(x) + T(y)

Passo 3

Vamos testar essa propriedade com a nossa função T(x) = 3x :
T(x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y
E por outro lado:
T(x) + T(y) = 3x + 3y
Vemos que T(x + y) = T(x) + T(y) , então a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

A segunda propriedade a verificar é se T preserva a multiplicação por escalar. Isso significa que para qualquer número real a e qualquer número real x , a aplicação de T em a cdot x deve ser igual a a vezes a aplicação de T em x . Matemáticamente:
T(a cdot x) = a cdot T(x)

Passo 5

Vamos testar esta propriedade com T(x) = 3x :
T(a cdot x) = 3(a cdot x) = a cdot 3x
E por outro lado:
a cdot T(x) = a cdot 3x
Novamente, temos T(a cdot x) = a cdot T(x) , então a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como a aplicação T(x) = 3x satisfaz ambas as propriedades de preservação da adição e da multiplicação por escalar, podemos concluir que T é uma transformação linear.

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