Verificar se a aplicação
, tal que
é uma transformação linear.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a aplicação
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de transformação linear, que é uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Precisamos verificar duas propriedades principais para confirmar se
é linear.
Passo 2
A primeira propriedade que devemos verificar é se
preserva a adição. Isso significa que para quaisquer dois números reais
e
, a aplicação de
na soma deles deve ser igual à soma das aplicações de
separadamente. Em termos matemáticos:
Passo 3
Vamos testar essa propriedade com a nossa função
:
E por outro lado:
Vemos que
, então a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
A segunda propriedade a verificar é se
preserva a multiplicação por escalar. Isso significa que para qualquer número real
e qualquer número real
, a aplicação de
em
deve ser igual a
vezes a aplicação de
em
. Matemáticamente:
Passo 5
Vamos testar esta propriedade com
:
E por outro lado:
Novamente, temos
, então a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz ambas as propriedades de preservação da adição e da multiplicação por escalar, podemos concluir que
é uma transformação linear.