Mostrar que as aplicações abaixo são transformações lineares:
A projeção ortogonal do R^3 sobre O x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a projeção ortogonal
P:R^3toR^3
sobre o eixo Ox é uma transformação linear. Para isso vamos usar a definição de linearidade: P é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^3 e qualquer escalar alphainR, valem
P(u+v)=P(u)+P(v) e P(alpha u)=alpha,P(u)

Passo 2

Definimos explicitamente P em coordenadas. Se
u=(x,y,z)inR^3,
então a projeção ortogonal sobre o eixo Ox é
P(x,y,z)=(x,0,0)

Passo 3

Verificamos a aditividade. Tomemos
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v=(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
e aplicando P:
P(u+v) =(x1+x2,0,0) =(x1,0,0)+(x2,0,0) =P(u)+P(v)

Passo 4

Verificamos a homogeneidade. Para alphainR e u=(x,y,z):
alpha,u=(alpha x,alpha y,alpha z)
e
P(alpha,u) =(alpha x,0,0) =alpha,(x,0,0) =alpha,P(u)

Resposta

A projeção ortogonal P:R^3toR^3, P(x,y,z)=(x,0,0), preserva soma e multiplicação por escalar, logo é de fato uma transformação linear.

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