Mostrar que as aplicações abaixo são transformações lineares:
A projeção ortogonal do
sobre
A projeção ortogonal do
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a projeção ortogonal
sobre o eixo
é uma transformação linear. Para isso vamos usar a definição de linearidade:
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem
Passo 2
Definimos explicitamente
em coordenadas. Se
então a projeção ortogonal sobre o eixo
é
Passo 3
Verificamos a aditividade. Tomemos
Então
e aplicando
:
Passo 4
Verificamos a homogeneidade. Para
e
:
e
Resposta
A projeção ortogonal
,
, preserva soma e multiplicação por escalar, logo é de fato uma transformação linear.