Verificar se a aplicação
, tal que
é uma transformação linear.
Passo 1
No exercício, precisamos verificar se a função
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as duas propriedades fundamentais que uma transformação linear deve satisfazer:
-
Aditividade: Para quaisquer vetores
e em , a transformação deve cumprir . -
Homogeneidade (ou Escalar): Para qualquer vetor
em e qualquer escalar , a transformação deve cumprir .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Aditividade:
Sejam
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos a transformação
:
Por outro lado, calculamos
:
Comparando os dois resultados:
Notamos que o terceiro componente de
é
, enquanto em
é
. Como
, a propriedade da aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Já que a propriedade da aditividade não foi satisfeita, não é necessário verificar a propriedade da homogeneidade. Por definição, para que uma transformação seja linear, ambas as propriedades devem ser satisfeitas. Portanto, podemos concluir que
não é uma transformação linear.
Resposta
A aplicação
não é uma transformação linear.