Verificar se a aplicação T: R^3 longrightarrow R^3, tal que T(x, y, z)=(x, 3 y, 4 z+1) é uma transformação linear.

Passo 1

No exercício, precisamos verificar se a função T: R^3 R^3 , definida por T(x, y, z) = (x, 3y, 4z + 1) , é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as duas propriedades fundamentais que uma transformação linear deve satisfazer:
  1. Aditividade: Para quaisquer vetores u e v em R^3 , a transformação deve cumprir T(u + v) = T(u) + T(v) .
  2. Homogeneidade (ou Escalar): Para qualquer vetor u em R^3 e qualquer escalar c , a transformação deve cumprir T(cu) = cT(u) .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função T .
Aditividade:
Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) .
Primeiro, calculamos u + v :
u + v = (x1 + x2, , y1 + y2, , z1 + z2)
Agora, aplicamos a transformação T :
T(u + v) = (x1 + x2, , 3(y1 + y2), , 4(z1 + z2) + 1)
= (x1 + x2, , 3y1 + 3y2, , 4z1 + 4z2 + 1)
Por outro lado, calculamos T(u) + T(v) :
T(u) = (x1, , 3y1, , 4z1 + 1)
T(v) = (x2, , 3y2, , 4z2 + 1)
T(u) + T(v) = (x1 + x2, , 3y1 + 3y2, , 4z1 + 4z2 + 2)
Comparando os dois resultados:
T(u + v) = (x1 + x2, , 3y1 + 3y2, , 4z1 + 4z2 + 1)
T(u) + T(v) = (x1 + x2, , 3y1 + 3y2, , 4z1 + 4z2 + 2)
Notamos que o terceiro componente de T(u + v) é 1 , enquanto em T(u) + T(v) é 2 . Como 1 neq 2 , a propriedade da aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Já que a propriedade da aditividade não foi satisfeita, não é necessário verificar a propriedade da homogeneidade. Por definição, para que uma transformação seja linear, ambas as propriedades devem ser satisfeitas. Portanto, podemos concluir que T não é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação T não é uma transformação linear.

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