Mostrar que o conjunto
[cc2 & 3 -1 & 0],[ll1 & -1 0 & -2],[rr-3 & -2 1 & -1],[rr3 & -7 -2 & 5] é uma base do M(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
lA1,A2,A3,A4rsubset M(2,2),
onde
A1=2 & 3-1 & 0, A2=1 & -10 & -2, A3=-3 & -21 & -1, A4=3 & -7-2 & 5,
é uma base de M(2,2).
Sabemos que dim M(2,2)=4, logo um conjunto de quatro matrizes é base se, e somente se, for linearmente independente. Vamos provar independência linear.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma,de<a tais que
alpha A1 + beta A2 + gamma A3 + de<a A4 = 0 & 00 & 0
Precisamos mostrar que isso implica alpha=beta=gamma=de<a=0.

Passo 3

Escrevendo a combinação linha a linha e coluna a coluna, obtemos o sistema
2alpha + beta - 3gamma + 3de<a = 0, 3alpha - beta - 2gamma - 7de<a = 0, -,alpha + 0,beta + gamma - 2de<a = 0, 0,alpha - 2beta - gamma + 5de<a = 0

Passo 4

Da terceira equação
-,alpha + gamma - 2de<a = 0 Longrightarrow alpha = gamma - 2de<a
Da quarta equação
-2beta - gamma + 5de<a = 0 Longrightarrow beta = 5de<a - gamma2

Passo 5

Substituindo alpha e beta nas duas primeiras equações:
(1) 2alpha + beta -3gamma +3de<a=0 vira
2(gamma-2de<a)+5de<a-gamma2-3gamma+3de<a=0 ;Longrightarrow; gamma=de<a
Com isso beta=(5de<a-de<a)/2=2de<a e alpha=de<a-2de<a=-de<a.
(2) 3alpha-beta-2gamma-7de<a=0 torna-se
3(-de<a)-2de<a-2de<a-7de<a=0 ;Longrightarrow; -14de<a=0 ;Longrightarrow; de<a=0
Então gamma=beta=alpha=0.

Passo 6

Chegamos à única solução trivial alpha=beta=gamma=de<a=0, logo A1,A2,A3,A4 são linearmente independentes. Como são quatro vetores num espaço de dimensão 4, formam uma base de M(2,2).

Resposta

O conjunto dado é uma base de M(2,2).

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