Usando coordenadas esféricas, calcule a massa da esfera sólida de raio a com densidade proporcional à distância ao centro (tomando
como a constante de proporcionalidade).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa de uma esfera sólida de raio
cuja densidade varia com a distância ao centro conforme
sendo
constante. Vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula da massa via integral tripla
Passo 2
Em coordenadas esféricas
temos as seguintes relações e elemento de volume:
e a densidade
.
Passo 3
Montamos a integral tripla da massa substituindo
e
:
Passo 4
Separamos as integrais em fatores dependentes de
,
e
:
Calculamos as angulares:
portanto o fator angular é
.
Passo 5
Agora a integral radial:
Assim