Usando coordenadas esféricas, calcule a massa da esfera sólida de raio a com densidade proporcional à distância ao centro (tomando k como a constante de proporcionalidade).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa de uma esfera sólida de raio a cuja densidade varia com a distância ao centro conforme
rho(r)=k,r,
sendo k constante. Vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula da massa via integral tripla
M=integral triplaVrho,dV

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,theta,phi) temos as seguintes relações e elemento de volume:
0<= r<= a, 0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi,
dV = r^2sinphi ,dr,dphi,dtheta,
e a densidade rho=k,r.

Passo 3

Montamos a integral tripla da massa substituindo rho e dV:
M = integral0^2pi!integral0^pi!integral0^a l(k,rr),r^2sinphi ,dr,dphi,dtheta

Passo 4

Separamos as integrais em fatores dependentes de theta, phi e r:
M = k l(integral0^2pidthetar) l(integral0^pisinphi,dphir) l(integral0^ar^3,drr)
Calculamos as angulares:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi,dphi = 2,
portanto o fator angular é 4pi.

Passo 5

Agora a integral radial:
integral0^ar^3,dr = a^44
Assim
M = k cdot 4pi cdot a^44 = k,pi,a^4

Resposta

M = k,pi,a^4

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