Prove que se um operador
com
é um isomorfismo então
e
possuem os mesmos subespaços invariantes. Vale em dimensão infinita?
Passo 1
Enunciado resumido e conteúdo: Temos um operador linear invertível
em um espaço vetorial de dimensão finita. O que queremos provar é que todo subespaço
satisfaz
se, e somente se, satisfaz
. O conteúdo aqui é o de subespaços invariantes e uso das propriedades de um isomorfismo.
Passo 2
Prova de
-invariância implica
-invariância: Suponha
tal que
. Como
é bijetora, para todo
existe
com
. Então
. Mas
e
garantem que
. Portanto todo
está em
, isto é,
.
Passo 3
Prova de
-invariância implica
-invariância: Agora suponha
. Se
, haja
. Então
mostra que
.
Passo 4
Conclusão: Acabamos de mostrar que
se, e somente se,
. Logo os operadores
e
têm exatamente os mesmos subespaços invariantes.
Passo 5
Sobre dimensão infinita: Note que a prova usa apenas que
é bijetora (isomorfismo) e não faz restrição de dimensão. Logo o resultado vale também em espaços de dimensão infinita (em termos puramente algébricos).
Resposta
Sim. A argumentação é puramente algébrica e só usa a bijetividade de
, logo vale tanto em dimensão finita quanto infinita.