Prove que se um operador T in L(V) com dim V é um isomorfismo então T e T^-1 possuem os mesmos subespaços invariantes. Vale em dimensão infinita?

Passo 1

Enunciado resumido e conteúdo: Temos um operador linear invertível T:Vto V em um espaço vetorial de dimensão finita. O que queremos provar é que todo subespaço Wsubseteq V satisfaz T(W)subseteq W se, e somente se, satisfaz T^-1(W)subseteq W. O conteúdo aqui é o de subespaços invariantes e uso das propriedades de um isomorfismo.

Passo 2

Prova de T-invariância implica T^-1-invariância: Suponha W tal que T(W)subseteq W. Como T é bijetora, para todo xin W existe yin V com x=T(y). Então y=T^-1(x). Mas xin W e T(W)subseteq W garantem que yin W. Portanto todo y=T^-1(x) está em W, isto é, T^-1(W)subseteq W.

Passo 3

Prova de T^-1-invariância implica T-invariância: Agora suponha T^-1(W)subseteq W. Se zin W, haja u=T^-1(z)in W. Então z=T(u) mostra que T(W)subseteq W.

Passo 4

Conclusão: Acabamos de mostrar que T(W)subseteq W se, e somente se, T^-1(W)subseteq W. Logo os operadores T e T^-1 têm exatamente os mesmos subespaços invariantes.

Passo 5

Sobre dimensão infinita: Note que a prova usa apenas que T é bijetora (isomorfismo) e não faz restrição de dimensão. Logo o resultado vale também em espaços de dimensão infinita (em termos puramente algébricos).

Resposta

Sim. A argumentação é puramente algébrica e só usa a bijetividade de T, logo vale tanto em dimensão finita quanto infinita.

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