- Mostrar que o conjunto
de vetores de
é L.I.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções
é linearmente independente, ou seja, que a única combinação linear que dá a função zero é a trivial. Para isso, vamos usar a definição de independência linear e operações de avaliação e derivação.
é linearmente independente, ou seja, que a única combinação linear que dá a função zero é a trivial. Para isso, vamos usar a definição de independência linear e operações de avaliação e derivação.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Essa é uma função identicamente nula em
.
Passo 3
Aplique
na equação acima. Como
e
zera o último termo, obtemos
Logo,
Passo 4
Defina
Como
para todo
, sua derivada também é zero em
. Calculando:
Como
, segue
Isso é um polinômio em
que se anula identicamente, logo os coeficientes dele são zero:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
, mas como então .
Passo 5
Tendo
, da relação
obtemos
. Assim
, ou seja, só existe a combinação trivial que dá a função zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.