1. Mostrar que o conjunto \left\{1, e^{x}, x e^{x}\right\} de vetores de C([0,1]) é L.I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções
\{1,\;e^{x},\;x e^{x}\}\subset C([0,1])
é linearmente independente, ou seja, que a única combinação linear que dá a função zero é a trivial. Para isso, vamos usar a definição de independência linear e operações de avaliação e derivação.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in[0,1],
\alpha\cdot1 \;+\;\beta\,e^{x}\;+\;\gamma\,x e^{x} \;=\;0.
Essa é uma função identicamente nula em [0,1].

Passo 3

Aplique x=0 na equação acima. Como e^{0}=1 e x=0 zera o último termo, obtemos
\alpha + \beta = 0.
Logo,
\alpha = -\,\beta.

Passo 4

Defina
f(x)=\alpha + \beta\,e^{x} + \gamma\,x e^{x}.
Como f(x)=0 para todo x, sua derivada também é zero em [0,1]. Calculando:
f'(x) =\beta\,e^{x} + \gamma\,(e^{x} + x e^{x}) = e^{x}\bigl(\beta + \gamma + \gamma\,x\bigr) =0.
Como e^{x}>0, segue
\beta + \gamma + \gamma\,x = 0 \quad\forall\,x\in[0,1].
Isso é um polinômio em x que se anula identicamente, logo os coeficientes dele são zero:
  • Coeficiente de x: \gamma=0.
  • Termo constante: \beta+\gamma=0, mas como \gamma=0 então \beta=0.

Passo 5

Tendo \beta=0, da relação \alpha=-\beta obtemos \alpha=0. Assim
\alpha=\beta=\gamma=0, ou seja, só existe a combinação trivial que dá a função zero.

Resposta

O conjunto \{1,e^{x},x e^{x}\} é linearmente independente em C([0,1]).

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