Mostrar que o conjunto \left\{1, e^{x}, x e^{x}\right\} de vetores de C([0,1]) é L.I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a família de funções
\{\,1,\;e^{x},\;x\,e^{x}\}
é linearmente independente em C([0,1]). Por definição, devemos assumir que existe uma combinação linear
\;a\cdot1 \;+\;b\,e^{x}\;+\;c\,x\,e^{x}\;=\;0\quad\text{em \([0,1]\)}
e provar que a=b=c=0. Como 1, e^x e x e^x são todas funções infinitamente diferenciáveis, podemos usar derivadas de f(x)=a + b e^x + c x e^x para obter um sistema de equações que determinará a,b,c.

Passo 2

Defina
\;f(x)=a + b\,e^{x} + c\,x\,e^{x}.
Como f(x)=0 para todo x\in[0,1], em particular em x=0 vale
f(0)=a + b\,e^{0} + c\cdot0\cdot e^{0} =a + b =0.
Logo,
a + b = 0. \tag{1}

Passo 3

Calcule a primeira derivada:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(a + b\,e^{x} + c\,x\,e^{x}\bigr) =b\,e^{x} + c\,e^{x} + c\,x\,e^{x} =e^{x}\bigl(b + c + c\,x\bigr).
Como f'(x)=0 para todo x, em x=0 obtemos
f'(0)=e^{0}(b + c + c\cdot0)=b + c=0. \tag{2}

Passo 4

Calcule a segunda derivada:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[e^{x}(b + c + c\,x)\Bigr] =e^{x}(b + c + c\,x) + e^{x}\text{(c)} =e^{x}\bigl(b + 2c + c\,x\bigr).
Em x=0 deve valer f''(0)=0, logo
f''(0)=e^{0}(b + 2c)=b + 2c=0. \tag{3}

Passo 5

Temos o sistema linear em (a,b,c)\): \[\begin{cases} a + b = 0,\\\ b + c = 0,\\\ b + 2c = 0. \end{cases}
Da segunda equação c=-b\]. Substituindo na terceira dá \[b + 2(-b)=b -2b=-b=0\implies b=0,\] de onde \(c=0 e então a=-b=0.

Resposta

Os únicos coeficientes que satisfazem a combinação \;a\cdot1 + b\,e^{x} + c\,x\,e^{x}=0
são a=b=c=0. Portanto, \{1,e^x,x e^x\} é linearmente independente em C([0,1]).

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