e provar que a=b=c=0. Como 1, e^x e x e^x são todas funções infinitamente diferenciáveis, podemos usar derivadas de f(x)=a + b e^x + c x e^x para obter um sistema de equações que determinará a,b,c.
Passo 2
Defina
\;f(x)=a + b\,e^{x} + c\,x\,e^{x}.
Como f(x)=0 para todo x\in[0,1], em particular em x=0 vale
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[e^{x}(b + c + c\,x)\Bigr] =e^{x}(b + c + c\,x) + e^{x}\text{(c)} =e^{x}\bigl(b + 2c + c\,x\bigr).
Em x=0 deve valer f''(0)=0, logo
f''(0)=e^{0}(b + 2c)=b + 2c=0. \tag{3}
Passo 5
Temos o sistema linear em (a,b,c)\):
\[\begin{cases} a + b = 0,\\\ b + c = 0,\\\ b + 2c = 0. \end{cases}
Da segunda equação c=-b\]. Substituindo na terceira dá
\[b + 2(-b)=b -2b=-b=0\implies b=0,\]
de onde \(c=0 e então a=-b=0.
Resposta
Os únicos coeficientes que satisfazem a combinação \;a\cdot1 + b\,e^{x} + c\,x\,e^{x}=0
são a=b=c=0. Portanto, \{1,e^x,x e^x\} é linearmente independente em C([0,1]).