1^{\underline{\mathbf{a}}} Questão ( 2.0 pts ) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear que tem os vetores ( 3,1 ) e ( -2,1 ) como autovetores associados aos autovalores - 2 e 3 , respectivamente. Dado um vetor (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, determine T(x, y).
SOLUÇÃO Por hipótese, sabemos que
\left\{\begin{array}{l} T(3,1)=(-2) \cdot(3,1)=(-6,-2) \\\ T(-2,1)=3 \cdot(-2,1)=(-6,3) \end{array}\right.
Os autovetores (3,1) e (-2,1) são L.I., logo formam uma base para o \mathbb{R}^{2}. Assim, dado (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, existem únicos \lambda_{1} e \lambda_{2} tais que
(x, y)=\lambda_{1}(3,1)+\lambda_{2}(-2,1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 3 \lambda_{1}-2 \lambda_{2}=x \\\ \lambda_{1}+\lambda_{2}=y \end{array}\right.
Resolvendo o sistema acima, obtemos \lambda_{1}=(x+2 y) / 5 e \lambda_{2}=(-x+3 y) / 5. Aplicando-se T a ambos os membros da igualdade acima, obtemos por linearidade:
\begin{aligned} T(x, y) & =\lambda_{1} T(3,1)+\lambda_{2} T(-2,1) \\\ & =\frac{x+2 y}{5}(-6,-2)+\frac{-x+3 y}{5}(-6,3) \\\ & =(-6 y,-x+y) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado diz que T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear e tem como autovetores (3,1) e (-2,1) associados aos autovalores -2 e 3, respectivamente. Queremos encontrar uma fórmula geral para T(x,y). A ideia é:
  1. Expressar (x,y) como combinação linear dos autovetores.
  2. Usar linearidade para calcular T(x,y).

Passo 2

Como \{(3,1),\,(-2,1)\} é base de \mathbb{R}^2, existe única decomposição
(x,y)=\lambda_1\,(3,1)+\lambda_2\,(-2,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 3\lambda_1-2\lambda_2 = x,\\\ \lambda_1+\lambda_2 = y. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo
\begin{cases} 3\lambda_1-2\lambda_2 = x,\\\ \lambda_1+\lambda_2 = y, \end{cases}
podemos, por exemplo, isolar \lambda_1=y-\lambda_2 na segunda equação e substituir na primeira:
3(y-\lambda_2)-2\lambda_2 = x \;\Longrightarrow\; 3y-5\lambda_2 = x \;\Longrightarrow\; \lambda_2 = \frac{3y-x}{5}.
Daí
\lambda_1 = y-\lambda_2 = y - \frac{3y-x}{5} = \frac{x+2y}{5}.

Passo 4

Pelo enunciado,
T(3,1)=(-2)\,(3,1)=(-6,-2), \qquad T(-2,1)=3\,(-2,1)=(-6,3).
Pela linearidade,
T(x,y) =\lambda_1\,T(3,1)+\lambda_2\,T(-2,1) =\frac{x+2y}{5}(-6,-2)+\frac{3y-x}{5}(-6,3).

Passo 5

Basta somar componente a componente:
T(x,y) =\Bigl(\frac{-6(x+2y)-6(3y-x)}{5},\;\frac{-2(x+2y)+3(3y-x)}{5}\Bigr) =(-6y,\,-x+y).

Resposta

T(x,y)=(-6y,\,-x+y).

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