1^{\underline{\mathbf{a}}} Questão ( 2.0 pts ) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear que tem os vetores ( 3,1 ) e ( -2,1 ) como autovetores associados aos autovalores - 2 e 3 , respectivamente. Dado um vetor (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, determine T(x, y).
Os autovetores (3,1) e (-2,1) são L.I., logo formam uma base para o \mathbb{R}^{2}. Assim, dado (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, existem únicos \lambda_{1} e \lambda_{2} tais que
Resolvendo o sistema acima, obtemos \lambda_{1}=(x+2 y) / 5 e \lambda_{2}=(-x+3 y) / 5. Aplicando-se T a ambos os membros da igualdade acima, obtemos por linearidade:
O enunciado diz que T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear e tem como autovetores (3,1) e (-2,1) associados aos autovalores -2 e 3, respectivamente. Queremos encontrar uma fórmula geral para T(x,y). A ideia é:
Expressar (x,y) como combinação linear dos autovetores.
Usar linearidade para calcular T(x,y).
Passo 2
Como \{(3,1),\,(-2,1)\} é base de \mathbb{R}^2, existe única decomposição
(x,y)=\lambda_1\,(3,1)+\lambda_2\,(-2,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 3\lambda_1-2\lambda_2 = x,\\\ \lambda_1+\lambda_2 = y. \end{cases}
Passo 3
Resolvendo
\begin{cases} 3\lambda_1-2\lambda_2 = x,\\\ \lambda_1+\lambda_2 = y, \end{cases}
podemos, por exemplo, isolar \lambda_1=y-\lambda_2 na segunda equação e substituir na primeira:
3(y-\lambda_2)-2\lambda_2 = x \;\Longrightarrow\; 3y-5\lambda_2 = x \;\Longrightarrow\; \lambda_2 = \frac{3y-x}{5}.
Daí
\lambda_1 = y-\lambda_2 = y - \frac{3y-x}{5} = \frac{x+2y}{5}.