Mostrar que o conjunto
do
é um subespaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial do
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar três coisas: se o zero vetor está em
, se
é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Claro que isso é verdade, então o zero vetor está em
.
Passo 3
Agora, precisamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos chamar esses vetores de
e
.
Sabemos que:
Somando essas duas equações:
Então,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor qualquer em
e multiplicarmos por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar
em
, então:
Multiplicando cada componente por
:
Então,
também está em
.
Resposta
Como verificamos que o zero vetor está em
, que
é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial do
.