Mostrar que o conjunto S=(x, y, z) in R^3 / a x+b y+c z=0 do R^3 é um subespaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o conjunto S = (x, y, z) in R^3 mid a x + b y + c z = 0 é um subespaço vetorial do R^3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar três coisas: se o zero vetor está em S , se S é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em S . O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Substituindo na equação a x + b y + c z = 0 :
a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 0 = 0
Claro que isso é verdade, então o zero vetor está em S .

Passo 3

Agora, precisamos ver se S é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em S , a soma deles também deve estar em S . Vamos chamar esses vetores de u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) .
Sabemos que:
a x1 + b y1 + c z1 = 0
a x2 + b y2 + c z2 = 0
Somando essas duas equações:
a (x1 + x2) + b (y1 + y2) + c (z1 + z2) = 0 + 0 = 0
Então, u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) também está em S .

Passo 4

Por último, vamos verificar se S é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor qualquer em S e multiplicarmos por qualquer número real k , o resultado também deve estar em S .
Vamos pegar u = (x, y, z) em S , então:
a x + b y + c z = 0
Multiplicando cada componente por k :
a (k x) + b (k y) + c (k z) = k(a x + b y + c z) = k cdot 0 = 0
Então, k u = (k x, k y, k z) também está em S .

Resposta

Como verificamos que o zero vetor está em S , que S é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que S = (x, y, z) in R^3 mid a x + b y + c z = 0 é, de fato, um subespaço vetorial do R^3.

Exercícios relacionados