Verificar se o subconjunto S=(x, 3 x+7) / x in R^2 é um subespaço vetorial do R^2. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um conjunto S = , (x, 3x + 7) mid x in R , e precisamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de R^2 . Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais, que basicamente são subconjuntos que fecham sob as operações de adição e multiplicação por escalar, e que contêm o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial de R^2 , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição vetorial.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto S .

Passo 3

1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em R^2 é (0, 0) . Vamos ver se ele pertence a S .
Substituindo x = 0 na expressão de S :
(0, 3 cdot 0 + 7) = (0, 7)
Então, (0, 7) está em S , mas (0, 0) não está. Portanto, S não contém o vetor zero.

Passo 4

2. Verificar se é fechado sob adição vetorial:
Mesmo já sabendo que S não contém o vetor zero, vamos continuar para entender melhor.
Se S for fechado sob adição, para quaisquer (x1, 3x1 + 7) e (x2, 3x2 + 7) em S , a soma (x1 + x2, 3x1 + 3x2 + 14) também deve estar em S .
Para estar em S , deveria ser da forma (x1 + x2, 3(x1 + x2) + 7) = (x1 + x2, 3x1 + 3x2 + 7) .
Mas percebemos que 3x1 + 3x2 + 14 neq 3x1 + 3x2 + 7 , então a soma não está em S .

Passo 5

3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um vetor (x, 3x + 7) por um escalar k :
k cdot (x, 3x + 7) = (k x, k(3x + 7)) = (k x, 3k x + 7k)
Para estar em S , precisaríamos que a segunda coordenada fosse 3(k x) + 7 = 3k x + 7 . Mas temos 3k x + 7k , que só seria igual a 3k x + 7 se k = 1 . Logo, para outros valores de k , não está em S .

Resposta

O conjunto S = , (x, 3x + 7) mid x in R , não é um subespaço vetorial de R^2 porque não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição vetorial e multiplicação por escalar.

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