Verificar se o subconjunto
é um subespaço vetorial do
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um conjunto
e precisamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais, que basicamente são subconjuntos que fecham sob as operações de adição e multiplicação por escalar, e que contêm o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial de
, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição vetorial.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
.
Substituindo
na expressão de
:
Então,
está em
, mas
não está. Portanto,
não contém o vetor zero.
Passo 4
2. Verificar se é fechado sob adição vetorial:
Mesmo já sabendo que
não contém o vetor zero, vamos continuar para entender melhor.
Se
for fechado sob adição, para quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Para estar em
, deveria ser da forma
.
Mas percebemos que
, então a soma não está em
.
Passo 5
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um vetor
por um escalar
:
Para estar em
, precisaríamos que a segunda coordenada fosse
. Mas temos
, que só seria igual a
se
. Logo, para outros valores de
, não está em
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição vetorial e multiplicação por escalar.