Verificar ser o conjunto S=(x, y, z) in R^3 / a x+b y+c z+4=0 do R^3 é um subespaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto S = (x, y, z) in R^3 mid a x + b y + c z + 4 = 0 é um subespaço vetorial de R^3 . Para isso, vamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e ver se o conjunto S cumpre todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Em termos simples, um subespaço é um “espaço menor” que está dentro de um espaço maior, e para ser considerado subespaço, ele precisa obedecer três regras básicas:
  1. Contém o vetor nulo: o ponto (0, 0, 0) deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: se você pegar dois vetores que estão no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se você pegar qualquer vetor do conjunto e multiplicar por um número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto S .

Passo 3

Verificando se o vetor nulo está em S :
O vetor nulo em R^3 é (0, 0, 0) . Vamos substituir esses valores na equação que define S :
a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 0 + 4 = 0 0 + 0 + 0 + 4 = 0 4 = 0
Isso é falso! O número 4 não é igual a 0. Portanto, o vetor nulo não está no conjunto S .

Passo 4

Conclusão:
Já que o conjunto S não contém o vetor nulo, ele não atende a uma das condições necessárias para ser um subespaço vetorial. Não precisamos nem verificar as outras duas condições (fechamento sob adição e multiplicação por escalar), porque todas as três precisam ser verdadeiras para que S seja um subespaço.

Resposta

O conjunto S não é um subespaço vetorial de R^3 porque não contém o vetor nulo.

Exercícios relacionados