Verificar se a aplicação T: R^2 longrightarrow R^3, tal que T(x, y)=(x,-2 y+1,3 x+2 y) é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a aplicação T: R^2 longrightarrow R^3 , definida por T(x, y) = (x, -2y + 1, 3x + 2y) , é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear da álgebra linear, que basicamente exigem que a aplicação respeite duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T é linear se, para quaisquer vetores u, v e qualquer escalar c , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u)
Além disso, uma transformação linear deve enviar o vetor zero no espaço de partida para o vetor zero no espaço de chegada, ou seja, T(0) = 0 .

Passo 3

Vamos primeiro verificar se T(0) = 0 . O vetor zero em R^2 é (0, 0) .
Calculando T(0, 0) :
T(0, 0) = (0, -2 cdot 0 + 1, 3 cdot 0 + 2 cdot 0) = (0, 1, 0)
Vemos que T(0, 0) = (0, 1, 0) , que não é o vetor zero em R^3 . Isso já nos indica que T não é uma transformação linear, pois não satisfaz a condição T(0) = 0 .

Passo 4

Mesmo assim, para reforçar, vamos verificar as outras propriedades. Vamos testar a aditividade com dois vetores, por exemplo, u = (x1, y1) e v = (x2, y2) .
Calculando T(u + v) :
T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, -2(y1 + y2) + 1, 3(x1 + x2) + 2(y1 + y2))
Simplificando:
= (x1 + x2, -2y1 - 2y2 + 1, 3x1 + 3x2 + 2y1 + 2y2)
Agora, calculando T(u) + T(v) :
T(x1, y1) + T(x2, y2) = (x1, -2y1 + 1, 3x1 + 2y1) + (x2, -2y2 + 1, 3x2 + 2y2)
Somando componente a componente:
= (x1 + x2, -2y1 - 2y2 + 2, 3x1 + 3x2 + 2y1 + 2y2)
Comparando com T(u + v) :
(-2y1 - 2y2 + 1) neq (-2y1 - 2y2 + 2)
Vemos que a segunda componente não é igual, então a aditividade também não é satisfeita.

Passo 5

Além disso, a presença do termo constante +1 na segunda componente da aplicação T(x, y) = (x, -2y + 1, 3x + 2y) já indica que T não é linear. Transformações lineares não podem ter termos constantes; elas devem ser expressas apenas por combinações lineares dos vetores de entrada.

Resposta

A aplicação T(x, y) = (x, -2y + 1, 3x + 2y) não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias para ser linear.

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