Verificar se a aplicação
, tal que
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a aplicação
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear da álgebra linear, que basicamente exigem que a aplicação respeite duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Além disso, uma transformação linear deve enviar o vetor zero no espaço de partida para o vetor zero no espaço de chegada, ou seja,
.
Passo 3
Vamos primeiro verificar se
. O vetor zero em
é
.
Calculando
:
Vemos que
, que não é o vetor zero em
. Isso já nos indica que
não é uma transformação linear, pois não satisfaz a condição
.
Passo 4
Mesmo assim, para reforçar, vamos verificar as outras propriedades. Vamos testar a aditividade com dois vetores, por exemplo,
e
.
Calculando
:
Simplificando:
Agora, calculando
:
Somando componente a componente:
Comparando com
:
Vemos que a segunda componente não é igual, então a aditividade também não é satisfeita.
Passo 5
Além disso, a presença do termo constante
na segunda componente da aplicação
já indica que
não é linear. Transformações lineares não podem ter termos constantes; elas devem ser expressas apenas por combinações lineares dos vetores de entrada.
Resposta
A aplicação
não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias para ser linear.