Mostrar que 4 é diferente de 0 , pelo axioma de peano

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para mostrar que o número 4 é diferente de 0 usando os Axiomas de Peano. Para isso, vamos precisar entender o que são os Axiomas de Peano, que são um conjunto de regras básicas usadas para definir os números naturais (como 0, 1, 2, etc.) e suas propriedades. Vamos usar esses axiomas para provar que 4 não pode ser igual a 0.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os Axiomas de Peano básicos que vamos usar:
  1. Axioma 1: 0 é um número natural.
  2. Axioma 2: Cada número natural tem um sucessor, que também é um número natural.
  3. Axioma 3: 0 não é o sucessor de nenhum número natural.
  4. Axioma 4: Números diferentes têm sucessores diferentes.
Esses axiomas nos ajudam a construir a sequência dos números naturais e a entender como eles se relacionam entre si.

Passo 3

Vamos construir os números de 0 até 4 usando os sucessores:
  • 0 é o número natural inicial.
  • 1 é o sucessor de 0, ou seja, S(0).
  • 2 é o sucessor de 1, S(S(0)).
  • 3 é o sucessor de 2, S(S(S(0))).
  • 4 é o sucessor de 3, S(S(S(S(0)))).

Passo 4

Agora, para provar que 4 é diferente de 0, usamos o Axioma 3, que diz que 0 não é o sucessor de nenhum número natural. Como 4 é quatro sucessores de 0 (S(S(S(S(0))))), ele não pode ser igual a 0.

Passo 5

Além disso, pelo Axioma 4, sabemos que se dois números são diferentes, seus sucessores também são diferentes. Já vimos que 1 é diferente de 0, 2 é diferente de 1, e assim por diante. Portanto, seguindo essa lógica, 4 também será diferente de todos os anteriores, incluindo 0.

Resposta

Com base nos Axiomas de Peano, mostramos que 4 é diferente de 0.

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