Mostrar que as equações dos problemas 14, 15 e 16 são homogêneas e achar as soluções respectivas.
15- \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y{2}}{x{2}}.
15- \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y{2}}{x{2}}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
é homogênea e então resolvê-la. Lembrando que uma equação
é homogênea se
para todo
. Aqui vamos usar a substituição padrão para equações homogêneas:
Passo 2
Vamos verificar a homogeneidade observando o lado direito:
Como depende só de
, a função é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazendo a substituição
, temos
Substituindo na equação original:
Passo 4
Reorganizando para isolar
:
Logo é uma equação separável:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando a
, obtemos a forma implícita da solução:
Para deixar explícito:
Resposta
A equação é homogênea e sua solução geral é
ou, de forma explícita,