Mostrar que as equações dos problemas 14, 15 e 16 são homogêneas e achar as soluções respectivas.
15- \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y{2}}{x{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+x\,y+y^{2}}{x^{2}}
é homogênea e então resolvê-la. Lembrando que uma equação dy/dx=f(x,y) é homogênea se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t. Aqui vamos usar a substituição padrão para equações homogêneas:
y=v\,x,\quad v=\frac{y}{x}.

Passo 2

Vamos verificar a homogeneidade observando o lado direito:
\frac{x^{2}+x\,y+y^{2}}{x^{2}} =\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x\,y}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}} =1+\frac{y}{x}+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}.
Como depende só de y/x, a função é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo a substituição y=v\,x, temos
\frac{dy}{dx} =v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} =1+v+v^{2}.

Passo 4

Reorganizando para isolar dv/dx:
x\frac{dv}{dx} =(1+v+v^{2})-v =1+v^{2}.
Logo é uma equação separável:
\frac{dv}{1+v^{2}} =\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\frac{dv}{1+v^{2}} =\int\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \arctan(v)=\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando a v=y/x, obtemos a forma implícita da solução:
\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\ln\lvert x\rvert + C.
Para deixar explícito:
\frac{y}{x} =\tan\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y =x\,\tan\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).

Resposta

A equação é homogênea e sua solução geral é
\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\ln\lvert x\rvert + C,
ou, de forma explícita,
y =x\,\tan\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).

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