Mostre que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a igualdade
onde a notação significa o produto sobre todos os divisores positivos de
e
é o número de divisores positivos de
.
Informações relevantes que temos (assumidas do enunciado):
-
é um inteiro positivo. - O conjunto
é o conjunto de todos os divisores positivos de . -
é o número de elementos desse conjunto, isto é, .
Passo 2
Ideia básica (intuição): cada divisor
de
vem em par com o divisor
, porque se
então também
, e o produto desse par é
Se conseguirmos agrupar todos os divisores em pares assim, o produto total será uma potência de
. Precisamos apenas tratar com cuidado o caso em que algum divisor se emparelha consigo mesmo (isto ocorre quando
, ou seja, quando
é quadrado perfeito).
Passo 3
Formalizando o argumento por pares:
-
Primeiro observe que a função
é uma bijeção do conjunto dos divisores de sobre ele mesmo, e para cada vale . -
Se
não é quadrado perfeito então nenhum divisor é igual ao seu par, logo os divisores se agrupam em pares distintos, e o produto total é
porque há
pares e cada par contribui com um fator
.
- Se
é quadrado perfeito, então existe exatamente um divisor que se emparelha consigo mesmo: . Nesse caso é ímpar; escrevendo a multiplicação em pares mais o divisor central, temos
Mas
, portanto
Assim o argumento por pares cobre ambos os casos e prova a fórmula.
Passo 4
Prova alternativa (mais algébrica, usando fatoração em primos) — bom para ver claramente os expoentes:
Escreva a fatoração prima de
como
onde
são primos distintos e
. Então cada divisor
tem a forma
com
. O número total de divisores é
Vamos calcular o expoente de
no produto
. Para cada escolha dos expoentes
o expoente de
é
. Para cada valor fixo de
há
escolhas dos outros expoentes, então a soma dos expoentes de
em todos os divisores vale
Sabendo que
e que
, obtemos que o expoente total de
é
Portanto no produto
o fator correspondente a
é
. Fazendo isso para todos os primos,
Isso confirma a identidade de forma algébrica.
Passo 5
Exemplo numérico para fixar a ideia: tome
. Fatoração
. Os divisores são
. O produto é
Aqui
, então
. Concorda com a fórmula.