Mostre que \prod_{d \mid n} d=n^{\tau(n) / 2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a igualdade
\prod_{d\mid n} d = n^{\tau(n)/2},
onde a notação significa o produto sobre todos os divisores positivos de n e \tau(n) é o número de divisores positivos de n.
Informações relevantes que temos (assumidas do enunciado):
  • n é um inteiro positivo.
  • O conjunto \{d:\\ d\mid n\} é o conjunto de todos os divisores positivos de n.
  • \tau(n) é o número de elementos desse conjunto, isto é, \tau(n)=\#\{d:\\ d\mid n\}.

Passo 2

Ideia básica (intuição): cada divisor d de n vem em par com o divisor \dfrac{n}{d}, porque se d\mid n então também \dfrac{n}{d}\mid n, e o produto desse par é
d\cdot\frac{n}{d}=n.
Se conseguirmos agrupar todos os divisores em pares assim, o produto total será uma potência de n. Precisamos apenas tratar com cuidado o caso em que algum divisor se emparelha consigo mesmo (isto ocorre quando d=\sqrt{n}, ou seja, quando n é quadrado perfeito).

Passo 3

Formalizando o argumento por pares:
  • Primeiro observe que a função d\mapsto \dfrac{n}{d} é uma bijeção do conjunto dos divisores de n sobre ele mesmo, e para cada d vale d\cdot\frac{n}{d}=n.
  • Se n não é quadrado perfeito então nenhum divisor é igual ao seu par, logo os divisores se agrupam em \dfrac{\tau(n)}{2} pares distintos, e o produto total é
\prod_{d\mid n} d = n^{\tau(n)/2}
porque há \dfrac{\tau(n)}{2} pares e cada par contribui com um fator n.
  • Se n é quadrado perfeito, então existe exatamente um divisor que se emparelha consigo mesmo: d=\sqrt{n}. Nesse caso \tau(n) é ímpar; escrevendo a multiplicação em pares mais o divisor central, temos
\prod_{d\mid n} d = n^{(\tau(n)-1)/2}\cdot \sqrt{n}.
Mas \sqrt{n}=n^{1/2}, portanto
\prod_{d\mid n} d = n^{(\tau(n)-1)/2}\cdot n^{1/2}=n^{\tau(n)/2}.
Assim o argumento por pares cobre ambos os casos e prova a fórmula.

Passo 4

Prova alternativa (mais algébrica, usando fatoração em primos) — bom para ver claramente os expoentes:
Escreva a fatoração prima de n como
n=\prod_{i=1}^{r} p_i^{a_i},
onde p_i são primos distintos e a_i\ge 1. Então cada divisor d tem a forma
d=\prod_{i=1}^{r} p_i^{e_i},
com 0\le e_i\le a_i. O número total de divisores é
\tau(n)=\prod_{i=1}^{r} (a_i+1).
Vamos calcular o expoente de p_k no produto \prod_{d\mid n} d. Para cada escolha dos expoentes (e_1,\dots,e_r) o expoente de p_k é e_k. Para cada valor fixo de e_k \prod_{i\ne k}(a_i+1) escolhas dos outros expoentes, então a soma dos expoentes de p_k em todos os divisores vale
\left(\prod_{i\ne k}(a_i+1)\right)\sum_{e=0}^{a_k} e.
Sabendo que \sum_{e=0}^{a_k} e = \dfrac{a_k(a_k+1)}{2} e que \prod_{i\ne k}(a_i+1)=\dfrac{\tau(n)}{a_k+1}, obtemos que o expoente total de p_k é
\frac{\tau(n)}{a_k+1}\cdot\frac{a_k(a_k+1)}{2}=\frac{\tau(n)\,a_k}{2}.
Portanto no produto \prod_{d\mid n} d o fator correspondente a p_k é p_k^{\tau(n)a_k/2}. Fazendo isso para todos os primos,
\prod_{d\mid n} d = \prod_{k=1}^{r} p_k^{\tau(n)a_k/2} = \left(\prod_{k=1}^{r} p_k^{a_k}\right)^{\tau(n)/2}=n^{\tau(n)/2}.
Isso confirma a identidade de forma algébrica.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar a ideia: tome n=12. Fatoração 12=2^2\cdot3^1. Os divisores são 1,2,3,4,6,12. O produto é
1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot6\cdot12=1728.
Aqui \tau(12)=6, então 12^{\tau(12)/2}=12^{3}=1728. Concorda com a fórmula.

Resposta

\displaystyle \prod_{d\mid n} d = n^{\tau(n)/2}

Exercícios relacionados