Mostre que o inteiro n=2^{10}\left(2^{11}-1\right) não é um número perfeito.

Passo 1

O enunciado dá o inteiro \,n=2^{10}\left(2^{11}-1\right)\, e pede para mostrar que esse inteiro não é um número perfeito.
Informações úteis que temos no enunciado:
  • \,n=2^{10}\left(2^{11}-1\right).
  • A tarefa: provar que \,n\, não é perfeito (ou seja, que a soma dos divisores próprios de \,n\, não é igual a \,n).

Passo 2

Definição e ideia-chave que vamos usar (explicada com calma).
Um inteiro positivo m é chamado de número perfeito se a soma dos seus divisores positivos (incluindo 1 e ele próprio) for igual a 2m. Em notação, usando a função soma dos divisores \sigma(m), isso é:
m\\ \text{é perfeito} \quad\Longleftrightarrow\quad \sigma(m)=2m.é
Para números pares existe um resultado clássico (teorema de Euclides–Euler) que classifica exatamente quais pares são perfeitos: todo número par perfeito tem a forma
2^{p-1}\bigl(2^{p}-1\bigr)
onde p é primo e 2^{p}-1 também é primo (esses primos da forma 2^{p}-1 são chamados primos de Mersenne). Reciprocamente, se 2^{p}-1 é primo, então 2^{p-1}(2^{p}-1) é um número perfeito (esta é a parte de Euclides; a parte de Euler mostra que toda número par perfeito deve ter essa forma).
Vou demonstrar rapidamente a parte fácil (Euclides): se M=2^{p}-1 é primo então N=2^{p-1}M é perfeito. Isso serve para entender por que o primaridade de 2^{p}-1 é decisiva.

Passo 3

Prova de que, quando M=2^{p}-1 é primo, então N=2^{p-1}M é perfeito (passo a passo).
  • A soma dos divisores de uma potência de 2 é uma série geométrica:
\sigma\bigl(2^{p-1}\bigr)=1+2+2^{2}+\cdots+2^{p-1}=2^{p}-1.
  • Se M é primo, a soma dos divisores de M é
\sigma(M)=1+M=1+(2^{p}-1)=2^{p}.
  • A função \sigma é multiplicativa para números coprimos; como \gcd\bigl(2^{p-1},M\bigr)=1 (pois M é ímpar), temos
\sigma\bigl(2^{p-1}M\bigr)=\sigma\bigl(2^{p-1}\bigr)\sigma(M)=(2^{p}-1)\cdot 2^{p}=2\cdot\bigl(2^{p-1}M\bigr).
Logo \sigma(N)=2N, ou seja, N é perfeito. Isso mostra por que é necessário que 2^{p}-1 seja primo para obter um número perfeito nessa forma.

Passo 4

Consequência prática que vamos usar para resolver o exercício: se um número tem a forma \,2^{p-1}(2^{p}-1) mas 2^{p}-1 não é primo, então esse número NÃO é perfeito. Por quê? Porque, segundo o teorema de Euler (a outra metade do teorema de Euclides–Euler), todo número par perfeito deve ter exatamente essa forma com 2^{p}-1 primo. Assim, se 2^{p}-1 for composto, o número da forma dada não pode ser perfeito. (Acima demos a direção “se 2^{p}-1 é primo então o número é perfeito”; Euler provou também que toda par perfeito tem essa forma, garantindo a condição necessária.)

Passo 5

Aplicação ao nosso caso concreto. Identificamos p tal que a forma do enunciado bate com a forma geral:
n=2^{10}\bigl(2^{11}-1\bigr)=2^{p-1}\bigl(2^{p}-1\bigr)\quad\text{com}\quad p=11.
Pelo raciocínio anterior, para que n fosse perfeito seria necessário que 2^{11}-1 fosse primo. Vamos verificar a primalidade de 2^{11}-1.

Passo 6

Cálculo de 2^{11}-1 e teste de primalidade (fácil aritmética).
  • Primeiro compute 2^{11}=2048, então
2^{11}-1=2047.
  • Agora testar divisibilidade: veja que
23\times 89 = 23\times(90-1)=23\times 90 - 23 = 2070 - 23 = 2047.
Portanto 2047=23\cdot 89, isto é, 2^{11}-1 é composto (não primo).

Passo 7

Conclusão final usando o teorema: como 2^{11}-1 é composto, a condição necessária para que n=2^{10}(2^{11}-1) seja um número par perfeito falha. Pelo teorema de Euclides–Euler, n não pode ser perfeito.

Resposta

n não é um número perfeito.

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