Mostre que o inteiro
não é um número perfeito.
Passo 1
O enunciado dá o inteiro
e pede para mostrar que esse inteiro não é um número perfeito.
Informações úteis que temos no enunciado:
Informações úteis que temos no enunciado:
-
. - A tarefa: provar que
não é perfeito (ou seja, que a soma dos divisores próprios de não é igual a ).
Passo 2
Definição e ideia-chave que vamos usar (explicada com calma).
Um inteiro positivo é chamado de número perfeito se a soma dos seus divisores positivos (incluindo
e ele próprio) for igual a
. Em notação, usando a função soma dos divisores
, isso é:
Um inteiro positivo
Para números pares existe um resultado clássico (teorema de Euclides–Euler) que classifica exatamente quais pares são perfeitos: todo número par perfeito tem a forma
onde
é primo e
também é primo (esses primos da forma
são chamados primos de Mersenne). Reciprocamente, se
é primo, então
é um número perfeito (esta é a parte de Euclides; a parte de Euler mostra que toda número par perfeito deve ter essa forma).
Vou demonstrar rapidamente a parte fácil (Euclides): se
é primo então
é perfeito. Isso serve para entender por que o primaridade de
é decisiva.
Passo 3
Prova de que, quando
é primo, então
é perfeito (passo a passo).
- A soma dos divisores de uma potência de
é uma série geométrica:
- Se
é primo, a soma dos divisores de é
- A função
é multiplicativa para números coprimos; como (pois é ímpar), temos
Logo
, ou seja,
é perfeito. Isso mostra por que é necessário que
seja primo para obter um número perfeito nessa forma.
Passo 4
Consequência prática que vamos usar para resolver o exercício: se um número tem a forma
mas
não é primo, então esse número NÃO é perfeito. Por quê? Porque, segundo o teorema de Euler (a outra metade do teorema de Euclides–Euler), todo número par perfeito deve ter exatamente essa forma com
primo. Assim, se
for composto, o número da forma dada não pode ser perfeito. (Acima demos a direção “se
é primo então o número é perfeito”; Euler provou também que toda par perfeito tem essa forma, garantindo a condição necessária.)
Passo 5
Aplicação ao nosso caso concreto. Identificamos
tal que a forma do enunciado bate com a forma geral:
Pelo raciocínio anterior, para que
fosse perfeito seria necessário que
fosse primo. Vamos verificar a primalidade de
.
Passo 6
Cálculo de
e teste de primalidade (fácil aritmética).
- Primeiro compute
, então
- Agora testar divisibilidade: veja que
Portanto
, isto é,
é composto (não primo).
Passo 7
Conclusão final usando o teorema: como
é composto, a condição necessária para que
seja um número par perfeito falha. Pelo teorema de Euclides–Euler,
não pode ser perfeito.