Mostrar que a função
é uma solução para o P.V.I:
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função
resolve a equação diferencial
com a condição inicial
. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções, substituir na equação diferencial e verificar se a condição inicial é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função dada é:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a derivada de
fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial
:
Substituindo:
Vamos distribuir o
dentro dos parênteses:
Agora, somando termos semelhantes:
Então, a equação simplifica para:
Ou seja,
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição inicial
. Substituindo
na função
:
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
e a condição inicial
no intervalo
.