Mostrar que a função y=54 e^2 x-14 sin (2 x)-14 cos (2 x) é uma solução para o P.V.I:
d yd x-2 y=sin (2 x), y(0)=1
no intervalo ]-infty,+infty[.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função y = 54 e^2x - 14 sin(2x) - 14 cos(2x) resolve a equação diferencial dydx - 2y = sin(2x) com a condição inicial y(0) = 1 . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções, substituir na equação diferencial e verificar se a condição inicial é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y em relação a x . A função dada é:
y = 54 e^2x - 14 sin(2x) - 14 cos(2x)
Derivando termo a termo:
  • A derivada de 54 e^2x é 54 cdot 2 e^2x = 52 e^2x .
  • A derivada de -14 sin(2x) é -14 cdot 2 cos(2x) = -12 cos(2x) .
  • A derivada de -14 cos(2x) é 14 cdot 2 sin(2x) = 12 sin(2x) .
Então, a derivada de y fica:
dydx = 52 e^2x - 12 cos(2x) + 12 sin(2x)

Passo 3

Agora, vamos substituir y e dydx na equação diferencial dydx - 2y = sin(2x) :
Substituindo:
52 e^2x - 12 cos(2x) + 12 sin(2x) - 2( 54 e^2x - 14 sin(2x) - 14 cos(2x) ) = sin(2x)
Vamos distribuir o -2 dentro dos parênteses:
52 e^2x - 12 cos(2x) + 12 sin(2x) - 52 e^2x + 12 sin(2x) + 12 cos(2x) = sin(2x)
Agora, somando termos semelhantes:
  • 52 e^2x - 52 e^2x = 0
  • -12 cos(2x) + 12 cos(2x) = 0
  • 12 sin(2x) + 12 sin(2x) = sin(2x)
Então, a equação simplifica para:
0 + 0 + sin(2x) = sin(2x)
Ou seja,
sin(2x) = sin(2x)

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição inicial y(0) = 1 . Substituindo x = 0 na função y :
y(0) = 54 e^0 - 14 sin(0) - 14 cos(0) = 54 cdot 1 - 14 cdot 0 - 14 cdot 1 = 54 - 0 - 14 = 1

Resposta

A função y = 54 e^2x - 14 sin(2x) - 14 cos(2x) satisfaz a equação diferencial dydx - 2y = sin(2x) e a condição inicial y(0) = 1 no intervalo ]-infty, +infty[ .

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