Resolva por separação de variáveis as equações a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, especificamente aquelas que podem ser separadas em funções de
e
. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação por
. Isso nos ajuda a isolar
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por
e dividir por
para trazer todas as expressões com
para o lado esquerdo e as com
para o direito:
Passo 4
Agora, simplificamos o lado direito da equação. Vamos dividir cada termo dentro do numerador por
:
Simplificando as frações:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
e a integral de
em relação a
:
Passo 6
Vamos resolver as integrais:
À esquerda:
Para
, usamos integração por partes:
Deixamos
e
. Portanto,
e
.
Aplicando integração por partes:
À direita:
Então, combinando:
Passo 7
Agora, igualamos as integrais encontradas:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por
:
No entanto, essa expressão é bastante complexa e pode não ser facilmente resolvida para
em termos de
. Portanto, podemos deixar a solução implícita da seguinte forma:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: