Resolva por separação de variáveis as equações a seguir.
e^x y d yd x=e^-y(1+e^-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. A equação que temos é:
e^x y dydx = e^-y(1 + e^-2x)
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, especificamente aquelas que podem ser separadas em funções de y e x . Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todas as expressões com y fiquem de um lado e as com x do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação por e^x y . Isso nos ajuda a isolar dydx :
dydx = e^-y(1 + e^-2x)e^x y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por dx e dividir por e^-y (1 + e^-2x) para trazer todas as expressões com y para o lado esquerdo e as com x para o direito:
e^y y , dy = 1 + e^-2xe^x , dx

Passo 4

Agora, simplificamos o lado direito da equação. Vamos dividir cada termo dentro do numerador por e^x :
e^y y , dy = ( 1e^x + e^-2xe^x ) dx
Simplificando as frações:
e^y y , dy = e^-x + e^-3x , dx

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação. A integral de e^y y , dy em relação a y e a integral de e^-x + e^-3x em relação a x :
integral e^y y , dy = integral ( e^-x + e^-3x ) dx

Passo 6

Vamos resolver as integrais:
À esquerda:
Para integral e^y y , dy, usamos integração por partes:
Deixamos u = y e dv = e^y dy . Portanto, du = dy e v = e^y .
Aplicando integração por partes:
integral y e^y dy = y e^y - integral e^y dy = y e^y - e^y + C
À direita:
integral e^-x dx = -e^-x + C
integral e^-3x dx = -13 e^-3x + C
Então, combinando:
integral ( e^-x + e^-3x ) dx = -e^-x - 13 e^-3x + C

Passo 7

Agora, igualamos as integrais encontradas:
y e^y - e^y = -e^-x - 13 e^-3x + C

Passo 8

Podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por e^y :
y - 1 = -e^-x - y - 13 e^-3x - y + C e^-y
No entanto, essa expressão é bastante complexa e pode não ser facilmente resolvida para y em termos de x . Portanto, podemos deixar a solução implícita da seguinte forma:
y e^y - e^y = -e^-x - 13 e^-3x + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y e^y - e^y = -e^-x - 13 e^-3x + C

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