Resolva a equação diferencial
(3 x y+y^2)+(x^2+x y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3xy + y^2) + (x^2 + xy),y' = 0
Isso é uma equação de primeira ordem na forma M(x,y)+N(x,y)y'=0. Como M e N são polinômios homogêneos de grau 2, vamos tratar como equação homogênea usando a substituição y=vx.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=3xy+y^2, N(x,y)=x^2+xy
e vemos que M(lambda x,lambda y)=lambda^2M(x,y) e N(lambda x,lambda y)=lambda^2N(x,y). Logo a equação é homogênea e podemos usar
y=vx, y'=v + xdvdx

Passo 3

Substituindo em
M + N,y'=0
temos
x^2l(3v+v^2r);+;x^2(1+v)l(v + xdvdxr)=0
Dividindo por x^2 e reorganizando, chega-se a
(1+v),xdvdx + 2v(2+v)=0

Passo 4

Separamos variáveis:
1+vv(2+v),dv = -2,dxx
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
1+vv(2+v)=12l(1v+1v+2r),
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integral1+vv(2+v),dv =12integral!dvv+12integral!dvv+2 =12lnl|v(v+2)r|+C

Passo 5

Integrando o outro lado também,
12lnl|v(v+2)r| = -2ln|x| + C1
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
l|v(v+2)r| = C,x^-4
Voltando a v=y/x,
yxl(yx+2r)x^4 = C Longrightarrow x^2,y,(y+2x)=C

Resposta

A solução geral fica dada implicitamente por
boxedx^2,y,(y+2x)=C,
onde C é constante de integração.

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