(2 pontos): Identifique, ache uma equação reduzida e esboce o gráfico da cônica x y-2 y-4 x=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de cônica é
x,y - 2y - 4x = 0,
achar uma equação reduzida (canônica) e esboçar seu gráfico.
Conteúdo: classificação de cônicas via discriminante e mudança de variáveis (translação do centro).

Passo 2

Para classificar, escrevemos os coeficientes gerais em
A,x^2 + B,x,y + C,y^2 + D,x + E,y + F = 0
Aqui A=0, B=1, C=0. O discriminante é
De<a = B^2 -4AC = 1^2 -4cdot0cdot0 = 1 > 0,
logo é uma hipérbole.

Passo 3

Reescrevemos a equação agrupando termos em x e y:
x,y - 2y - 4x = 0 ;Longrightarrow; y,(x-2) = 4x
Para completar o retângulo, adicionamos e subtraímos 8:
x,y -2y -4x +8 -8 = 0 ;Longrightarrow; (x-2)(y-4) = 8

Passo 4

Fazendo a translação
X = x-2, Y = y-4,
a equação reduzida fica
X,Y = 8,
que é a forma canônica de uma hipérbole centrada na origem dos eixos X,Y.
O centro da hipérbole original é (2,4) e as assíntotas são
X=0;Longrightarrow;x=2, Y=0;Longrightarrow;y=4

Passo 5

No sistema X,Y a hipérbole XY=8 tem dois ramos:
  • ramo em X>0,Y>0 (isto é, x>2,y>4);
  • ramo em X<0,Y<0 (isto é, x<2,y<4).
    O esboço no plano x,y mostra duas curvas aproximando-se das retas x=2 e y=4.

Resposta

Tipo: hipérbole.
Equação reduzida:
(x-2)(y-4) = 8,
ou, com X=x-2, Y=y-4,
X,Y = 8
Gráfico: centro em (2,4), assíntotas x=2 e y=4, dois ramos em x>2,y>4 e x<2,y<4.

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